Re: [分析] uniformly continuous

[h2o1125 (偽君子)]

※ 引述《jimmy780331 (lucky曉筑)》之銘言：
: 關於 g(x)=e^(-x) , x屬於[0,∞) 驗證g為uni. continuity
: 不知這樣寫可否
: let ε=1 ,δ>0 必存在r屬於正整數 s.t. rδ^2 > 1-δ
: let  x=ln(rδ^2)  y=ln(rδ)
: x-y = ln(rδ^2)-ln(rδ) = lnδ < ln(e^δ) = δ
: g(x)-g(y) = e^(-ln(rδ^2))-e^(-ln(rδ))
:           =(1/rδ^2)-(1/rδ)
:           =(1-δ)/(rδ^2) < 1
: 所以g為uni. contin.
: 這樣論述是對的嗎?
: 但同樣邏輯我卻想不出下列三題
不對

要對任意ε

given ε>0

since g'→0 as x→∞

choose M such  that ∣g'(x)∣<ε  if x>M

for x>y >M  choose δ= 1

if ︱x-y︱<δ  then ∣g(x)-g(y)∣=∣x-y∣∣g'(z)∣for some x>z>y 均值定理

=>   ∣g(x)-g(y)∣=∣x-y∣∣g'(z)∣<ε

hence g is uni cont on [M,∞)

since g is cont on compact set [0,M+1]  => g is uni cont on [0,M+1]

thus  g is uni cont on [0,∞)

: 1. f(x)=xlogx if x屬於(0,∞)
:           0   if x=0
不是  f'=logx+1   遞增無界

         ε>∣f(x)-f(y)∣=∣x-y∣∣f'(z)∣→∞  contradiction

: 2. g(x)=xsin(1/x) for x屬於(0,1]

做法應該是choose δ 足夠小  分成(0,δ]  [δ/2,1]兩個區間討論

: 3. h(x)=sin(x^2) for x屬於R

不是  一樣看h'

: 都是要判斷是否為uniformly continuous
: 謝謝指點

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◆ From: 218.187.53.28
※ 編輯: h2o1125         來自: 218.187.53.28        (02/05 18:53)
推 jimmy780331 :感謝！