Re: [微積] 求極限

[e426 (==突然好想你==)]

                         a_(n+1)
有定理：a_n > 0，若 lim --------- 存在
                   n→∞  a_n

                   1/n        a_(n+1)
        則 lim (a_n)   = lim ---------
          n→∞         n→∞  a_n

我有點看不太懂以上這兩句話的意思
可以請板上高手指點一下迷津嗎?謝謝

還有

我剛剛算到一題


題目是:判斷  sigma  n!/n^n  是否收斂，並求 lim  n!/n^n
            n=1~∞                        n->∞

解:

 lim   a_n+1/a_n = 1/e < 1
n->∞
故由比值審斂法知原式收斂

所以  lim  n!/n^n =0
     n->∞

這樣好像很怪

為什麼lim  n!/n^n =0
     n->∞

而lim (n!)^1/n /n =1/e ???
     n->∞

※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之銘言：
: ※ 引述《e426 (==突然好想你==)》之銘言：
: : 請問一下各位板友
: : 這一題要怎麼求呢?
: : http://ppt.cc/yMvC
: : 有想到用夾擠定理
: : 但是求不出來
: : 懇請解答
: : 感謝
: 方法一：
: 先證明：(1+ 1/n)^n < e
:         (1+ 1/n)^(n+1) > e
:         2  1  3  2       n   n-1    n-1
: 然後  (---) (---) ... (-----)    < e
:         1     2         n-1
:      n^(n-1)     n-1            n^n     n-1
: 即 ---------- < e    ，也就是  ----- < e
:      (n-1)!                      n!
:        (n!)^(1/n)      e^(1/n)
: 所以 -------------- > ---------
:            n              e
: 另一半不等式可以自己去做做看
: 然後就可以夾擠了
: 方法二：
:                          a_(n+1)
: 有定理：a_n > 0，若 lim --------- 存在
:                    n→∞  a_n
:                    1/n        a_(n+1)
:         則 lim (a_n)   = lim ---------
:           n→∞         n→∞  a_n
: 所以考慮 a_n = n!/n^n
:         a_(n+1)                 1   n
: 則 lim --------- = lim 1/( 1 + --- )  = 1/e
:   n→∞  a_n      n→∞         n
: 然後就可以得到答案了
: ※ 編輯: Vulpix          來自: 111.248.8.180        (02/05 23:53)
: 推 deepwoody   :方法二還蠻屌的                                     02/05 23:56
: 推 e426        :謝謝你                                             02/06 00:32

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          最怕此生  已經決心自己過

                沒有你

          卻又突然 聽到你的消息

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 111.184.164.243
→ Vulpix      :反正還有方法一嘛...  不要用方法二就好
→ Vulpix      :另外，關於最後的疑問，「是啊，沒有錯。」
→ Vulpix      :「0^0是不定型，一點都不奇怪。」
推 asynchronous:或是你反過來想 (1/e)^∞ = 0  非常自然吧
推 jerry90109  :_是什麼??
→ n19860423   :a_n表示 n是a的下標