※ 引述《recorriendo (孟新)》之銘言：
: Let D be the set of decreasing functions f: N -> N. (N 是自然數集)
: The relation < on D is defined as follows: f < g iff there is an natural
: number n such that f(n) < g(n) and f(i)=g(i) for all i < n.
: Let S be a nonempty subset of D. Show that S has a least element under <.
: 想了一些方法可是好像都不太對
: 不知道有沒有熟悉集合論的高手幫忙解此題
依題意可得:
任兩函數 f, g in D 或者 f=g 或者 f<g 或者 g<f,
恰一成立.
就 S 中之成員 f, 考慮 f(1).
A_1 = {f(1); f in S} 是 N 的子集, 則 A_1 有最
小元素 n_1.
令 S_1={ f in S: f(1)=n_1}.
設已定義了 A_1,...,A_k; n_1,...,n_k 及 S_1,...,S_k.
令 A_{k+1} = {f(k+1): f in S_k},
n_{k+1} 是 A_{k+1} 的最小元素.
又令 S_{k+1} = { f in S_k: f(k+1)=n_{k+1}}.
∞
易知 ∩S_k 非空.
k=1
設 f in ∩S_k, 則 f(k)=n_k, k=1,2,...,
此 f 為 S 之 least element under < relation.
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