[機統] 請教Dirichlet?

[danmarch (阿湯)]

擲一硬幣 十次都是正面 問第十一次出現正面的機率

條件

1.every outcomes are independent

2.the coin is bias


小弟的高中數學直覺告訴我

硬幣出現正面的機率是多少，第十一次出現機率就是多少

但是某位高手學長卻說 不 答案是10/11

"這跟dirichlet principle有關"

想請教到底是為什麼呢?

或是有可能條件不足?

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◆ From: 114.37.156.252
→ danmarch    :沒人理我 = =" 如果是我敘述太差 麻煩告知一下
推 Ertkkpoo    :時間太早，也許晚一點會有人會這題吧
→ yhliu       :若是 "公正硬幣", 則是 1/2. 但不知硬幣是否公正...
→ yhliu       :因此, 假設出現正面機率 p 有 prior density π(p),
→ yhliu       :則 given 前10次都是正面, 第11次仍是正面的條件機率
→ yhliu       :為 ∫_[0,1] p^11π(p)dp/∫_[0,1] p^10π(p)dp
→ yhliu       :若假設 π(p)=1, 即 p 在 [0,1] uniform, 則得 11/12
→ yhliu       :一般: 已知 n 次正面, 第 n+1 次也是正面的條件機率
→ yhliu       :為 (n+1)/(n+2). 這好像稱為 Laplace 的 "連續律".
→ yhliu       :http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_succession
→ danmarch    :感謝Y大解惑    雖然我看不懂...哈
→ danmarch    :嗯 我不懂的是為什麼都說是independent了
→ danmarch    :還要去管前面丟擲的情況呢 而不是只看第十一次就好?
→ yhliu       :因為 p 未知, 由前面的丟擲結果給予 p 的訊息.
→ yhliu       :當然 p 不一定要假設是隨機的, 更不一定要是在 [0,1]
→ yhliu       :均勻分布(即: 不一定要假設π(p)=1).
→ yhliu       :若不假設 p 是隨機的, 那麼 "第11次是正面的機率" 等
→ yhliu       :於是問 p 的估計值. 而 p-hat = 11/12 或 10/11 都是
→ yhliu       :p 的估計值.
→ danmarch    :我想我可能需要把原理讀一次 感覺用高中機率無法理解
→ danmarch    :真是謝謝你熱心回答!