[代數] eigenvector

[wyob (Go Dolphins)]

做考古題做到的ㄧ題，做幾行就寫完了感覺不太符合配分

所以想上來請教一下

1.Let S and T be linear transformations on a finit-dimensional vector

  space over C.Suppose ST=TS.Show that they have a common eigenvector.

2.(p-1)!≡p-1 mod(1+2+...+p-1) if p is a prime number.

第一題我的解法是:假設x=\=0 是S的ㄧ個eigenvector，而λ是相對應

的eigenvalue

所以ST(x)=TS(x)=T(λx)=λT(x)

＝〉T(x)也是一個相對應λ的eigenvector,所以T(x)=ax,where x屬於R

所以x就是S,T共同的eigenvector.

不知道是不是哪裡有盲點，這樣解的話，對所有的eigenvector都對吧

所以想請幫忙看一下是不是哪裡解錯了

而第二題不知道怎麼解，所以想請教一下

感謝

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◆ From: 118.166.226.69
→ Vulpix      :λ的eigenspace不見得只有一維...
→ wyob        :喔我沒打清楚，我假設這裡的x=[x1,x2,...,xn]^t
→ wyob        :然後題目裡的S和T都是有限維度的
→ Vulpix      :我已經把這些假設腦補了  但不是這個問題啊
→ Vulpix      :你試試看 S=I,T隨便 然後跑一遍你的證明
→ Vulpix      :問題是出在你選的x不一定剛剛好是λ的eigenspace中
→ Vulpix      :也是T的eigenvector的那一個
→ wyob        :喔喔，可是等式的最後不是就代表T(x)也在λ的
→ wyob        :eigenspace裡嗎?這樣Tx和x應該就只差某各常數a倍
→ wyob        :所以Tx=ax,雖然x不再λ的eigenspace裡，可是x會在a的
→ wyob        :eigenspace哩，這樣想對嗎
→ ilovecs34   :你可以想成其實S找的eingenspace 就是T不變子空間
→ Vulpix      :等等，"T(x)也在λ的eigenspace裡"真的代表Tx和x只差
→ ilovecs34   :所以會存在eingenvector符合 並不是對所有
→ Vulpix      :某個常數a倍嗎？一樣用S=I的例子來檢視看看：
→ Vulpix      :T隨便選，x只要不是0都在S關於λ=1的eigenspace裡
→ Vulpix      :那還能保證Tx一定跟x同方向嗎？
→ wyob        :喔喔了解了，感謝你，那我試試看i大的方法好了
→ wyob        :那第二題該從哪裡下手比較好
→ Vulpix      :p=2很簡單，p不是2的話可以用Wilson定理
→ wyob        :我有想過wilson定哩，可是mod後面要怎麼拆開來用呢
→ Vulpix      :hint:(p-1)!-(p-1)是p的倍數也是(p-1)/2的倍數