Re: [機率] 關於箱子中未知球數的機率問題

[yhliu (老怪物)]

※ 引述《whcat ()》之銘言：
: 小的 有個數學的問題 但不知如何區分
: 因為最近和朋友聊天的時候
: 正好天方夜譚的憑空冒出一個問題
: 就是一個箱子裡面 有著未知顆數的球
: 每顆球都有自己專屬的編號
: 用一隻手從箱子裡面 一次拿四顆球(假設箱子內球數比手拿取的顆數來的高)
: 拿完以後 再放回去 然後一直重複拿取球並記錄的工作
: 這樣子有可能得知箱子裡面總共有幾顆球!?
: 或是至少要做幾次拿取並記錄的工作才可以知道有幾顆球?
: 也不用清楚的知道 可能可以用有很高的機率是幾顆球!?
: 因為小的並非數學系畢業 XD
: 但是我覺得辦得到!!!
: 卻不知道怎麼計算?!
: 這問題是不是有點奇怪 XDDDD
: 但是卻不知道該如何做到!?

設球數為 N, 未知.
設編號為 1,2,...,N.
若編號不是 1,2,...,N 連續號,
把實際號碼與 1,...,N 做個對應.

設一次取 k 個球, 取 n 次.

只取一次(n=1), 因一次取出, 只能依大小順序.
設取出之編號為 X_1< ．．．<X_k. 則其聯合 p.m.f. 是
f(x_1,...,x_k) = 1/C(N,k), 1≦x_1<…<x_k≦N.

取 n 次, 設第 i 次取出之編號為
   X(i,1)< ···<X(i,k), i=1,...,n.
則 {X(i,j), i=1,...,n, j=1,...,k} 之聯合 p.m.f. 為
  f({x(i,j): i=1,...,n, j=1,...,k}) = 1/[C(N,k)]^n,
       1≦x(i,1)< ···<x(i,k)≦N, i=1,...,n.

則 N 之 M.L.E. (maximum likelihood estimate) 為
   N^ = max{x(i,j): i=1,...,n, j=1,...,k}

此 M.L.E. 顯然是永遠低估的.

但 N^ 本身又是 N 的 complete sufficient statistic,
因此, 可藉由計算 E[N^] 而找出 N^ 的函數, δ(N^),
為 N 之不偏估計, 並且此不偏估計δ(N^)在所有 N 之不
偏估計中具有最小的均方誤差, 稱之為 UMVUE.


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※ 編輯: yhliu           來自: 125.233.153.120      (02/11 23:24)
※ 編輯: yhliu           來自: 125.233.153.120      (02/11 23:26)
推 whcat       :恩~ 我想先謝謝你 但是我還要在搞清楚你寫的東西 XD
推 MOONY135    :好久沒有看到UMVUE了...
→ yhliu       :給1F: 簡單地說, 這是屬於統計上如何估計 N 的問題.
→ yhliu       :至於本文內容, 沒學過數理統計大概不能完全弄清楚,
→ yhliu       :完全沒接觸統計更可能完全不懂在寫甚麼.
→ yhliu       :至於你原來問的: 要抽幾次(n要多大)可以完全知道 N?
→ yhliu       :在 N>k (你原問中 k=4) 之假設下是: 不論 n 多少都不
→ yhliu       :可能完全確定 N.
推 whcat       :那其實也不用需要完全確定n值 N是多少的機率最大為何
→ whcat       :將也不行嗎?
→ yhliu       :找出 N 的估計量 T, 可以求出 T 的分布.
→ yhliu       :本文談的就是 T 的兩種, 一是 MLE N^, 另一是 UMVUE.