[分析] 一個均勻收斂的問題

[Madroach (∞)]

{f_n(x)}={cos(nx)} on R

請問是否存在subsequence均勻收斂?


我用積分與極限交換來檢驗這個序列

發現不可行 所以{f_n(x)} 不是均勻收斂

但這樣似乎不足以說對於所有子序列都不均勻收斂(頂多存在非均勻收斂)

有請前輩指點一二


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 111.248.8.158
推 ppia        :這是週期函數列 所以限制在 [0,2π] 看就可以了
→ ppia        :bounded domain 下, 均勻收斂會保證 L^2 收斂
→ ppia        :然而這個函數列任兩相異函數的 L^2 距離都是 √(2π)
→ ppia        :(正交函數列,傅立葉積分) 所以不可能有 L^2 收斂的
→ ppia        :的子數列 因此不可能有均勻收斂的子數列
→ denby       :不是[0, 1]？
→ denby       :更正一下  是[-1, 1]
推 yusd24      :原題目沒有 normalized
→ Madroach    :歐歐@@ 謝謝幾位熱心解說!