Re: [微積] f(x+y) = f(x)f(y) implies f(x) = a^x

[ranger25 (ranger25)]

※ 引述《jacky7987 (憶)》之銘言：
: ※ 引述《GSXSP (Gloria)》之銘言：
: : f(x) differentiable on (-∞,∞)
: : with f(x+y) = f(x)f(y)
: : prove that f(x) = a^x for some a
: : (Hint: ln f(x) must have constant derivitive)
: : 我做                f'(x)       f'(y)
: : grad ln f(x+y)  =  (------ ,   ------ )
: :                      f(x)        f(y)
: :                  f'(x)
: : 但是還是看不出來 -----  是constant
: :                  f(x)
: : 請問這題要怎麼做呢?
: 提供另外一個方法試試看好了
:                 2
: f(0)=f(0+0)=f(0)
: =>f(0)=0 or 1
: Case 1:
: If f(0)=0 them f(x)≡0 for all x in R.....done
: Case 2:
: if f(0)=1
: for n \in N           n
: f(n)=f(1+1+...+1)=f(1)
:        ￣￣￣￣n times
: 1=f(0)=f(1+(-1))=f(1)*f(-1)
:              -1
: => f(-1)=f(1)
: Hence for n be negtive integer
:                                         -n    -1     -n      n
: f(n)=f((-1)*(-n))=f(-1)*f(-n)=f(-1)*f(1)  =f(1) * f(1)  =f(1)
                    ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
              應該改成f(-1)^-n=(f(1)^-1)^-n=f(1)^n
:                   1     1         1        1  m
: Moreover, f(1)=f(--- + --- + ...+---) = f(---)
:                   m     m         m        m
:                  ￣￣￣￣￣￣￣￣m times
:                    1
:                  (---)
:          1         m
: hence f(---)=f(1)
:          m
:                                  n
訂正                              ---
              n      1    n        m
  finally, f(---)=f(---)      =f(1)
              m      m
: 到此我們做完全部的有裡數的部份
: therefore, for r be a irrational number there exists a seq {x_n} ,where x_n
: are all rational number such that x_n->r
: and f is diff => f is conti
: Hence
:                                     x_n      r
: f(r)=lim f(x)= lim  f(x_n)= lim f(1)    =f(1)
:      x->r     n->inf       n->inf
: let f(1)=a, we are done
: ＝＝＝
: 這作法是模仿線性的XDD
: f(x+y)=f(x)+f(y)
很厲害^^b


請問就CASE1而言，f(x)≡0怎麼說明f(x)=a^x？
a=0？可是0^0不存在啊
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◆ From: 220.134.181.173
※ 編輯: ranger25        來自: 220.134.181.173      (02/13 10:49)
推 jacky7987   :可能得說廣義的對吧，分段定義在0的時候是0
→ jacky7987   :其他地方則是0^x次方
→ jacky7987   :然後我寫的的-n已經變成正整數了，可以直接用前面證
→ jacky7987   :的去寫
→ jacky7987   :所以我才那樣寫XDD
→ jacky7987   :別理我我那邊寫錯XD
→ jacky7987   :你寫的是對的
→ ranger25    :是題目的問題啦
→ ranger25    :f(x)≡0並無違反題意，但結果很明顯是錯的