推 wolfwood :感謝指點,我犯了頭昏眼花計算錯誤的毛病XD 02/14 11:20
※ 引述《wolfwood (狼木)》之銘言：
: Q:求f(x,y,z)=e^(-xyz)在橢球面x^2+y^2+2z^2=1上之最大值。
: 我目前的寫法:
: 利用lagrange method
: (-yz)e^(-xyz)=2λx →Ⅰ
: (-xz)e^(-xyz)=2λy →Ⅱ
: (-xy)e^(-xyz)=4λz →Ⅲ
: x^2+y^2+2z^2-1=0 →Ⅳ
: 解上面四個式子的聯立
: Ⅰ
: -------- → x^2=y^2
: Ⅱ
: Ⅳ → 2y^2+2z^2=1
: 但是繞來繞去都解不出λ來。我在橢球上猜了幾個座標點，但是都不是答案
: 懇請代數高手相救,感謝。
可以除前題為不會除到0
(i) 若λ=0
因為e^(-xyz)≠0
所以 yz=0, xz=0, xy=0
但由Ⅳ可知x,y,z不全為0
若y=0, z=0, 由Ⅳ可解得 x=±1
同理若 x=0, z=0, y=±1
若 x=0, y=0, z=±1/sqrt(2)
共6解
(ii) 若x,y,z,λ均不為0
I / II 可得 x^2 = y^2
I / III 可得 x^2 = 2z^2
代入 IV 可得 3x^2 = 1, x^2 = 1/3
所以y^2=1/3, z^2=1/6
所以 x=±1/sqrt(3), y=±1/sqrt(3), z=±1/sqrt(6)
共8解
要算λ就把x,y,z再帶回I,II,III其中一式即可
將x,y,z代入後得最大值為e^(1/sqrt(54))
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