Re: [線代] 幾個命題的真偽

[ilovecs34 (彼得)]

※ 引述《Madroach (∞)》之銘言：
: 寫題目的時候碰到幾個不確定的敘述
: 1)A and B are n*n matrices, AB = O, then all eigenvalues of BA are 0.
: 2)A is a n*n matrix over R s.t A^2=-I_n, then
:  ( i ) n must be even
:  (ii ) tr(A)≠0
:  (iii) if B^2=-I_n , then A.B are similar
: 這四條命題實在很不確定 Q Q
: 有請前輩指教!

前面都有人回答了

那我就補充2)(iii)

if B^2=-I -> Let f(x)=x^2+1

By C.H Thm f(B)=O

mB(x)|f(x)

mB(x)=(x-i)(x+i) or (x-i) or (x+i)

A同理，

Let mB(x)=(x-i) mA(x)=(x+i)

Hence, A, B不相似。

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◆ From: 220.143.56.123
推 Madroach    :對耶!這是個好辦法! 謝謝你!! :)
→ Vulpix      :實矩陣的min.poly.應該是實係數吧
→ Vulpix      :另外，這問題用Jordan form做出來是"true"
推 ppia        :minimal poly. = x^2+1 的話, over |R 就沒有
→ ppia        :eigenvalue, 樓上指的是 rational canonical form嗎?
→ ppia        :因為 inv. factor 一定只能是 {(x^2+1),(x^2+1),...}
→ ppia        :講錯, 是 elem. divisor, 所以這題 over |R 是對的
→ ppia        :是這樣嗎?
→ ppia        :剛剛看了一下原題有"over |R" 這個條件啊
推 Madroach    :嗯真的耶 題目確實有寫 over R  @@"
→ ilovecs34   :sorry造成你的誤解　是我的疏忽
→ ilovecs34   :不過因為這樣的矩陣在Ｒ上不能做成Jordan form
→ ilovecs34   :所以你考慮在Ｃ上形成Jordan form 會發現不相等
→ ilovecs34   :所以回到R上時　A B不相似
→ ilovecs34   :第二句不要理我= =
推 ppia        :不對吧 比如說 n=2 你舉的例子 A,B 在 M_2(C) 裡面
→ ppia        :會相似於 iI_2 或 -iI_2, 但這兩個方陣根本不可能
→ ppia        :跟 M_2(R) 裡面任何一個方陣相似 這反例是不成立的
→ ppia        :上面用 Rational Canonical Form 的證明應該可以吧
→ ppia        :也就是說這個命題在 M_n(R) 裡面是成立的
→ ppia        :還有可能是 [i 1; 0 i] 或 [-i 1; 0 -i]
→ ppia        :但無論如何 因為 A, B 的 trace 是實數, 上面的反例
→ ppia        :不成立
→ ppia        :對不起 我耍笨了 [i 1; 0 i] 或 [-i 1; 0 -i] 不可能