Re: [微積] ∫(x^2-6x+5)^(1/2) dx

[rachel5566 (rachel5566)]

※ 引述《Yifabooksos (一發不可收拾)》之銘言：
: 來問這題
: ∫(x^2-6x+5)^(1/2)  dx
: 考古題的題目 沒有解答
: 想來拜託各位(鞠躬

(x^2-6x+5)^(1/2) = [(x-3)^2-4]^(1/2)

令 x-3 = 2secθ => dx = 2secθtanθdθ

原式 = ∫2tanθ*2secθtanθdθ

     = 4∫secθtan^2θdθ

     = 4∫secθ(sec^2θ-1)dθ

     = 4(∫sec^3θdθ-∫secθdθ)

     = 4{[(1/2)tanθsecθ+(1/2)ln|secθ+tanθ|]-ln|secθ+tanθ|} + c

     = 2tanθsecθ - 2ln|secθ+tanθ| + c

     = 2*[(x^2-6x+5)^(1/2)/2]*(x-3)/2 - 2ln|[(x-3)+(x^2-6x+5)^(1/2)]/2| + c

     = (x-3)(x^2-6x+5)^(1/2)/2 - 2ln|(x-3)+(x^2-6x+5)^(1/2)| + c'

註: ∫sec^3θdθ可由分部積分得到(1/2)tanθsecθ+(1/2)ln|secθ+tanθ| + c

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