Re: [微積] Fourier transform

[firstshiva (敢愛敢恨真性情)]

以前粗略地念過一些跟傅利葉變換相關的理論

我也不敢說我的觀念完全正確，但就把我知道的跟你分享

所謂傅利葉變換存在性
             _
換句話說就是 f(t) = ∫f(x)e^ixt dx 對於每個實數 t 都要有定義

那只要函數 f 屬於 L^1

也就是說∫|f(x)| dx < ∞ 而且 f 可測 (或是說 Lebesque 積分存在) 就行了

因為 e^ixt 這函數可測，如果前提滿足那 f(x)e^ixt 也就可測，

則 Lebesque 積分存在，加上|∫f(x)e^ixt dx| ≦ ∫|f(x)| dx < ∞

那這個變換對所有的 t 就會都有定義。

再來你所說的定義範圍，一般傅立葉變換的定義域都會取 (-∞,∞)

至於你所描述的函數關鍵還是在於它可不可測，還有可不可積

其實要說清楚就得從實分析講起

但是如果回到實際面，能積得出來，然後用基本函數表示的其實也就是滄海一粟罷了



※ 引述《endlesschaos (佐佐木信二)》之銘言：
: 之前在書上看到
: 一個函數能做 Fourier transform 的條件為絕對可積分
: 亦即｜f(x)｜ < ∞
: 相較於 Laplace transform 還必須附帶有 piecewise continuous 的條件
: Fourier transform 似乎並不需要分段連續
: 那麼想請問一下
: 如果一個函數類似長得這樣
:                                         ↑
:                                         │
:                        .                │
:                             .       .   │
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:                                         │
: 也就是各個函數值都是不連續的
: 我知道不連續因此不可微分
: 但是否可積分並做 Fourier transform 呢？
: 如果可以的話
: 那麼積分的範圍又該如何定義？
: 感謝回答

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◆ From: 140.112.218.113
→ firstshiva  :另外如果你想了解多一些，可以去看Inversion Thm
→ firstshiva  :其實重點應該在於能不能反傅立葉轉換回來原始函數
→ firstshiva  :在Rudin的實分析裡面有介紹，只要L^1就行，L^2的話
→ firstshiva  :只能限定domain是有限的，然後L^2 norm收斂回去
推 yusd24      :嘖嘖  是大師耶