1.
let f:[a,b] -> R be a differentialble function. f'(a) = +infinity
f'(b) = -infinity. For c in R, there exists x and y in [a,b]
such that f'(x) > c and f'(y) < c. 請問這件事是怎麼做到的?
2.
let f:(a,b) -> R be a differentiable function, then |f(x)| <= K for
x in (a,b). 請問這邊是怎麼來的? (我只知道連續函數在閉區間是有界)
(題目)
設f在開區間(a,b)為連續且可微分實質函數, 則f在(a,b)將為均勻連續.
(證明)
利用假設函數f在(a,b)為有界, 故存在K使得|f(x)| <= K. (這邊看不懂怎麼來)
因為f在(a,b)為連續且可微分, 給定(a,b)中任意兩點x,y, 利用均值定理將存在
一點c介於x,y之間, 使得
|f(x)-f(y)| = |f'(c)||x-y| <= K|x-y|
(前面寫的是|f| <= K, 這邊突然變|f'|, 應該是打錯吧...)
最後令 delta = epsilon / 2
|f(x)-f(y)| < K * delta < epsilon
因此f在(a,b)為均勻連續.
大致的過程是這樣, 整個看起來很怪.
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