[微積] 極限的概念

[luke2 (路克：２)]

給定一函數


f(x)=y=√(1-x^2)

在xy座標上它是一個半圓


請問f(x)在x=1處是否連續?


答案是肯定的(畢竟f(x)根本就是一個連續函數)

那麼

lim f(x)存在,且等於f(1)  (這也是連續的必要條件)
x→1

我想問的是
f(x)在x=1處的左極限很明顯是0

那麼右極限呢?


對於x>1
f(x)沒有定義更沒有極限
所以它右極限是"不存在"嗎?

還是說,我們在討論極限"存在"時根本不會去討論它的右極限?


其實這個問題是來自於這個敘述

lim f(x)存在<=>lim f(x)=lim f(x)
x→a           x→a+    x→a-

的對錯...

來源:http://0rz.tw/8wu7P



我查到一些資料
它的敘述幾乎都是

lim f(x)存在<= lim f(x)=lim f(x)
x→a           x→a+    x→a-

而不是雙箭號(充分必要條件)

可是考卷上卻說這是對的= =

被這個問題困擾了好久
於是來請教各位大大...謝謝!

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.243.17.75
※ 編輯: luke2           來自: 111.243.17.75        (02/20 23:10)
→ Xixan       :不知道你是查什麼資料，不過極限存不存在最簡單就是
→ Xixan       :用定義(epsilon-delta)來看。
→ luke2       :其實只是高中數學課本而已= =  小弟目前高三...
→ luke2       :才學殊淺  並不了解epsilon-delta的概念...
※ 編輯: luke2           來自: 111.243.17.75        (02/20 23:17)
→ Xixan       :那這樣說好了，你問他的右極限是多少就和問f(2)是多
→ Xixan       :少一樣，一點意義都沒有。但極限存在這件事是有很好
→ Xixan       :的定義的，不會有什麼爭議。既然沒學過，就算了吧。
→ luke2       :所以說  這個敘述(充分必要)是錯的嗎?
→ luke2       :因為我們根本不會去討論右極限(討論也沒意義)
→ Xixan       :沒什麼對也沒什麼錯，高中課本本來就沒辦法寫太仔細
→ Xixan       :真的想了解就去找微積分的書翻一翻…
→ luke2       :瞭解了,謝謝!
→ yhliu       :在端點, 極限 or 連續性都只考慮單邊的.
→ yhliu       :在初微, 有些作者會強調只有單邊極限存在, 而 "極限"
→ yhliu       :被狹義地限制為僅指 "雙邊極限".
→ yhliu       :在高微, "極限" 的定義自動排除不在定義域範圍的點.
→ yhliu       :因此如本例在端點 x=1 or x=-1 的極限自動變成適當的
→ yhliu       :單邊極限.
→ yhliu       :但在初微, 如本例在 x=1 or x=-1 可能就被認為
→ yhliu       :"極限不存在", 因為只能考慮單邊極限之故.
→ yhliu       :所以像這種情形單純問是否連續, 極限是否存在, 可說
→ yhliu       :並無統一答案, 完全要看定義怎麼說.
→ yhliu       :但此例函數 f(x) 在 [-1,1] 確實屬連續函數, 因為在
→ yhliu       :閉區間連續函數定義是: 在內點都連續,在端點單邊連續