推 kkman162 :請問週期是算2pi嗎? 02/22 18:42
→ ntust661 :偶擴充是 4π 02/22 22:05
※ 引述《kkman162 (不怕是一種幸福)》之銘言：
: 請問一下大大們~這題該怎麼做呢?
: 直接丟進去積分嗎?
: 可以用奇偶性質來看嗎?
: Expand the function f(x)= xsinx 0<x<2pi
: in a Fourier series
可以阿，因為 x sin(x) 為偶函數
利用 Fourier Cosine Series
1 2π
A = ── ∫ x sin(x) dx
0 2π 0
1 │2π
= ── [ x (-cos(x)) - (-sin(x)) ] │
2π │0
1
= ── [ - 2π + 0 ] = -1
2π
2 2π nπ
A = ── ∫ x sin(x) cos(── x) dx
n 2π 0 2π
1 2π 1 n n
= ── ∫ x [── (sin([1 + ──]x) + sin(1 - ──)x) ] dx
π 0 2 2 2
1 n 2 + n 2 2 2 + n
= ── ( [ x(- ─── cos(───)x + (────) sin(───)x ) ] +
2π 2 + n 2 2 + n 2
n 2 - n n 2- n
[ x (- ────) cos(───)x + (────)sin(───)x ] )
2 - n 2 2 - n 2
n ≠ 2
1 n n n n
= ── ( [ -2π(───) ( -1 ) - 2π ─── ( -1 ) ] ...
2π 2 + n 2 - n
- [ 0 ] )
n+1
(-1) 4 n
= ────────
4 - n^2
當 n = 2 時
1 2π 1 2π
A = ──∫ x sin(x) cos(x) dx = ── ∫ x sin( 2 x) dx
2 2π 0 4π 0
1
= - ──
2
故級數
n+1
1 ∞ 4 (-1) n n
= - 1 - ── cos(x) + Σ ────── cos(──)
2 n=1 (n≠2) 4 - n^2 2
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