Re: [分析] compact sets

[sato186 (銀色轟炸機)]

※ 引述《r4553280 (Q睿)》之銘言：
: Suppose that {Vα} α belong to A,is a collection of nonempty open sets in X
: which satisfies Vα∩Vβ = Φ(空集合) for all α≠βin A.Prove that if X is
: separable,then A is countable.
: 這是這課本的習題
: 後面沒給提示
: 感覺跟Lindelof's theorem 有關係
: 可是想不到該怎麼證
: 可以請教一下解答 已經該如何思考解題的方向嗎?
: 先謝謝各位高手~

果然是個上進的好學弟XD

 Proof 

　　Let Ｃ:={ Ｖ  }        and S = ∪Ｃ. Clearly, Ｃ is an open cover
               α  α in A

for A. Since the space X is separable, by Lindelöf's theorem,

there is a countable cover Ｋ of Ｃ so that S is contained in ∪Ｋ.

Hence ∪Ｃ = ∪Ｋ. By the assumption of Ｃ, we can conclude that

 Ｃ = Ｋ is countable.
　　　　　　　　　　　　♪

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  19487  XX 2/14 -            □ (已被oralsex5566刪除) <> 請洽它它板
→ YU0121:刪本：就讓他刪 刪久了累了就不會在刪了
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推 calvin4     :♪
推 r4553280    :可是交集為空集合的條件沒用到 還是其實用了我沒看到
　　如果開集合 O 屬於Ｃ, 由於 ∪Ｃ = ∪Ｋ, O 必為 Ｃ 之中某些開集合的聯集

這時由交集為空集合的條件, 得知 O 只可能是 O 本身, 不會是兩個以上的 Ｃ 之中

的開集合的聯集.
※ 編輯: sato186         來自: 140.123.63.57        (02/23 08:56)