※ 引述《gauss760220 (章魚)》之銘言：
: 請問一下
: 是否所有的微分運算子公式都可以證明?
: 在高階線性O.D.E裡
: 會用來解特解的方式有待定係數法 "微分反運算子" 參數變更法
: 其中微分反算子法的公式不少
: 雖然可以背
: 但我更想知道它的證明
: 例如: [L(D)]^(-1) [e^(ax)Q(X)]=e(ax)[L(D+a)]^(-1) Q(x)
: [L(D^2)]^(-1) [cos(ax)]=....
: 請懂的人指點一下證明的方式
: 謝謝
n n-1
L(D) = a D + a D + ... + a0
n n-1
(1)
at
L(D) y = e
at
則假設 y = A e
at at
L(D) A e = e
at at mt 2 mt
L(a) A e = e , (例如 x'' + x' + x = 0 另 y = e 得 [ m + m + 1 ] e )
1
係數 A = ───
L(a)
(2)
at
L(D) y = e Q(t)
at
考慮 y = e f(t)
at
L(D) y = L(D) [ e f(t) ]
at at
= L(a) e f(t) + e L(D)f(t)
at
= e L(D + a) f(t)
at
= e Q(t)
1
則 f(t) = ──── Q(t)
L(D+a)
at 1
y = e f(t) = ───── Q(t)
L(D + a)
(3) L(D) y = cos(at)
iat
cos(at) = Re { e }
同第(1)個~
iat
假設 y = e
L(D) y = L(ia) y
= cos(at)
2 2 2 2
已知 (ia) = - a , 所以任意的 D = - a
雖然用 ia = D 也可= =
1 1
可是作者考量還沒教複數所以只寫說 ──── cos(at) = ───── cos(at)
L(D^2) L(-a^2)
1
ex: ─────── cos(2t)
D^2 + 2D + 6
1
= ────── cos2t
-4 + 2D + 6
1
= ───── cos2t
2 D + 2
D - 1 D-1 1 1
= ───── cos2t = ─── cos2t = ── sin2t + ── cos2t
2(D^2 - 1) -10 5 10
法二，直接上 D = ia
1 2it
────── e
D^2 + 2D + 6
1 2it
= ────── e
-4 + 4i + 6
1 2it
= ────── e
2 + 4i
2 - 4i
= ───── cos(2t) + i sin(2t)
20
1 1
= ─── cos2t + ─── sin2t
10 5
想知道其他的我在補資料上來@@..
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