→ ckchi :又...如果把b改成 (1-根號3)^n 就不用分兩種case討論 02/25 23:41
→ ckchi :一律用 (a+b)^2-2ab就可以了 02/25 23:42
※ 引述《qoolinboy (LYK)》之銘言：
: 關於上一題證明
: 想請問 證明 (根號3+1)^2n + (根號三-1)^2n 為整數的方法
: 除了完全展開以外，還有什麼解決方法??
臨時想的
不知道會不會有點複雜...
令 a=(根號3+1)^n b=(根號3-1)^n
所以 (根號3+1)^2n + (根號3-1)^2n
= a^2 + b^2
= (a+b)^2 - 2ab or (a-b)^2 + 2ab
而 ab = (根號3+1)^n * (根號3-1)^n
= [(根號3+1)*(根號3-1)]^n
= 2^n (為整數)
(i) 當 n 為奇數時：
a-b = (根號3+1)^n - (根號3-1)^n
所有根號3的奇數次方(1/-1的偶數次)都會消掉
因此a-b為整數
由整數的封閉性：(a-b)^2 + 2ab 為整數
(ii) 當 n 為偶數時：
a+b = (根號3+1)^n + (根號3-1)^n
所有根號3的奇數次方(1/-1的奇數次)都會消掉
因此a-b為整數
由整數的封閉性：(a+b)^2 - 2ab 為整數
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