※ 引述《qoolinboy (LYK)》之銘言：
: 還有證明 若 2^n+1 | (根號3+1)^2n + (根號三-1)^2n
: 則 2^n+1 亦整除 根號3*(根號3+1)^2n - 根號3*(根號三-1)^2n
我想先確認一下
是 2^n + 1
還是 2^(n+1)
如果是2^n + 1請略過下面...
一樣令 a = (根號3+1)^n , b = (根號3-1)^n
首先...
根號3*(根號3+1)^2n - 根號3*(根號3-1)^2n
= 根號3*(a^2-b^2)
= 根號3*(a+b)*(a-b)
因為 (a+b) 和 (a-b) 中
一定有一個是整數，另一個是根號3*整數
所以 根號3*(根號3+1)^2n - 根號3*(根號3-1)^2n 一定是整數
又，
(根號3+1)^2n + (根號3-1)^2n
= (a+b)^2 + 2ab or (a-b)^2 - 2ab
= (a+b)^2 + 2*2^n or (a-b)^2 - 2*2^n
= (a+b)^2 + 2^(n+1) or (a-b)^2 - 2^(n+1)
因此若 2^(n+1)|(根號3+1)^2n + (根號3-1)^2n
則 2^(n+1)|(a+b)^2 且 2^(n+1)|(a-b)^2
所以2^(n+1)|根號3*(a+b)*(a-b) (這步好像有點不嚴謹，要再想想)
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