推 iddee :恰一空箱與無空箱的算式理由是？ 02/26 19:00
→ Intercome :利用生成函數可推出 02/26 23:34
※ 引述《iddee (人生失敗組)》之銘言：
: 最近受託教親戚兒子高一數學，但是脫離高中生涯已久，
: 有些題目雖然作的出來，但卻是自己覺得不甚滿意的窮舉法，
: 所以來請教一下大家下面這一題組的作法。
: 1) 5 本不同書分 3 個不同箱子，共有多少方法數？
: 2) 5 本相同書分 3 個不同箱子，共有多少方法數？
: 3) 5 本相同書分 3 個相同箱子，共有多少方法數？
: 4) 5 本不同書分 3 個相同箱子，共有多少方法數？
: 我的作法：
: 1) 5 本書，每本都有三種選擇，故有 3^5 種方法數。
: 2) 等同 5 本相同書分三堆，加入 2 根分隔棒和 5 本相同書一起作排列，
: 此為重複排列，故有 7!/[(2!)(5!)] 種方法數。
: 3) 窮舉法
: 5 0 0
: 4 0 1
: 3 0 2
: 3 1 1
: 2 1 2
: 共 5 種方法數。
恰兩空箱: 1
恰一空箱: [5/2] = 2
無空箱 : (5^2/12)四捨五入 = 2
所以共 1+2+2 = 5 種
: 4) 窮舉法
: 承 3) 之解法，但須考慮書本之不同。
: 5 0 0 x1
: 4 0 1 x C(5,1) = 5
: 3 0 2 x C(5,3) = 10
: 3 1 1 x C(5,3) = 10
: 2 1 2 x C(5,2) x C(3,1) /2 = 15 (因 ab cd e 與 cd ab e 視為同方法)
: 故有 1 + 5 + 10 + 10 + 15 = 41 種方法數。
可以想成除了(5,0,0)有3種排法外，其他皆有3!=6種排法
(3^5 - 3)/6 + 1 = 41 種
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