Re: [微積] ODE

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《young11539 (〝☆小小霈★”)》之銘言：
: 一題有關於ODE方程組的問題
: ds(t)   a*h^(3/2)
: ---- =  ---------
: dt         s
: dh(t)   a*h^(3/2)       b*h^(3/2)
: ---- =  ----------   -
: dt         s
: a b is constant
: and h(0)=s(0)=0;
: 請問有辦法求出s h 的顯函數形式嘛?
: 謝謝!
---

    ( 以下算法考慮 a、b≠0 )


   ┌  s' = (a/s)*h^(3/2)               ____(1)
   └　h' = (a/s)*h^(3/2) - b*h^(3/2)   ____(2)

    把 (1)式帶入 (2)式 可得:


           h' = s' - (b/a)ss'
        → h = s - (b/2a)s^2  + C1

    由  h(0)=s(0)=0  易知  C1 = 0

    所以  h = s - (b/2a)s^2   ____(3)



    再將 (3)式　帶回 (1) 式:

          s' = a(1-ks)√(s - ks^2)   ,  其中 k = b/(2a)


                   (at)^2
    解得  s(t) = ──────     ( 已考慮  s(0)=0 )
                 4 + k(at)^2

                                4(at)^2
    在根據 (3)式 可得 h(t) = ────────
                             [4 + k(at)^2]^2

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    不確定對不對，感覺有點怪怪的 = =ll

    solution　可能不只一條，只是那些都是 weak solution

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.47.130
推 young11539  :謝謝 我消化一下
推 young11539  :可以請問一下 3代回1的部分嘛 ? 突然就出現s(T)
→ young11539  :不是很懂@@
推 young11539  :我算是1+K(AT)^2

    假設先不管  initial value  的條件:

        s' = a(1-ks)√(s - ks^2)

                     1
    →  ∫ ─────────── ds = at + C
           (1-ks)^(3/2) * s^(1/2)

                     1
    →  ∫ ─────────── ds = at + C
           [(1/s)-k]^(3/2) * s^2

                  -1
    →  ∫ ──────── d(1/s) = at + C
           [(1/s)-k]^(3/2)

    →  2[(1/s) - k]^(-1/2) = at + C

                                  (at+C)^2
    再稍微整理一下可得   s(t) = ───────
                                4 + k(at+C)^2


    而 singular solution 滿足   (1-ks)√(s - ks^2) = 0

    或是  s(t) = (1/k)  or  0

    而這裡的 s(0)=0 恰好會決定出 s(t) 通解曲線族中的其中一條 (C=0)

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    其實我個人的疑問是

    原 o.d.e. 組中，  s'(0) 和 h'(0)  並未 defined

    所以最後的 solution 還需要分區段去討論以滿足原題

    或許一開始的題目改寫成解  ┌ ss' = ah^(3/2)
                              └ sh' = ah^(3/2) - bsh^(3/2)
                                 s(0) = h(0) = 0
    會比較恰當
※ 編輯: doom8199        來自: 140.113.47.130       (02/28 02:16)
推 young11539  :謝謝! 完全了解了