[機統] Converge in L^p norm

[GSXSP (Gloria)]

本來是這樣:

Xn → X in L^p
Yn → Y in L^q

then  XnYn → XY in  L^1   for 1/p + 1/q = 1


我想問:  不要  1/p + 1/q = 1 這個條件是否也可以

例如說 p=q=1.

他證明是有用到Holder inequality

不過這樣是否也可:

proof:

Case1 X = 0 and Y = 0

         2
∥Xn Yn∥   ≦  ∥Xn∥  ∥Yn∥    →  0   as n → ∞
         1            1       1


hence ∥Xn Yn∥   →  0
               1


Case2 Xn = X for all n  and Y = 0

X_M (w) = min { X(w) , M }

          2
∥X_M Yn∥   ≦  ∥X_M∥  ∥Yn∥    →  0   as n → ∞  for all M > 0
          1             1       1


=>  Given ε> 0  exist N s.t.

                 2       2
       ∥X_M Yn∥   <  ε      for all n ≧ N
                 1


        ∵  | X_M Yn | →  |X Yn|  increasingly   a.s.

            =>  E|X_M Yn | → E|X Yn| increasingly


         ∴ ∥X Yn∥   =  lim   ∥X_M Yn∥   ≦  lim  ε = ε for all n ≧ N
                    1    M→∞           1      M→∞


 hence ∥X Yn∥  → 0
               1


General case

   XnYn - XY = (Xn-X)(Yn-Y) + X(Yn-Y) + Y(Xn-X) → 0

                  case1       case2     case2


Hence XnYn → XY in L^1




這樣是否正確?

而且這樣好像 p , q ,1 這三個數字可以換成很多別的數字?


(用math1209大貼過的 a＋b ＝ c 且 c/r ＝ a/p ＋ b/q,

           c           a      b
     ∥fg∥   ≦  ∥f∥  ∥g∥  .
           r           p      q

好像很多數字都可以，另外我想問一下這個不等式在哪裡找得到或是證明阿?
 a,b,c,r,p,q都要是正整數嗎?)



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※ 編輯: GSXSP           來自: 218.168.28.250       (02/28 16:51)
推 hcsoso      :應該不用是正整數, r,p,q 只要是大於零的實數.
推 hcsoso      :然後我印象中好像如果 c = 1, a,b 必須要在 (0,1) 中
→ yhliu       :∥Xn Yn∥_1^2 ≦ ∥Xn∥_1 ∥Yn∥_1 成立嗎?
→ GSXSP       :剛剛有人跟我說不成立了Orz  不等式有誤QQ
推 hcsoso      :真的 orz 看 wiki, 似乎是 c = 1 時, p,q,r > 0,
→ hcsoso      :0 < a,b < 1, 滿足那個等式則下面的不等式會對.