推 andy2007 :十分感謝前輩快狠準證明，不過需要前面另外三個定理 02/28 23:17
→ andy2007 :|R 是代表所有實數Ｒ嗎？證明看起來好困難 Orz 02/28 23:17
推 c04y3 :推薦這篇文章 03/01 01:38
※ 引述《andy2007 (...)》之銘言：
: 堪根定理：
: 假設 f(x)=0 為「實係數多項式方程式」，ａ、ｂ是兩個實數，
: 若 f(a)‧f(b)＜0 則在ａ、ｂ之間至少有一個 f(x)=0 的實根。
: 找了不少網站都只有這個定理的說明，但是證明我都找不到 Orz
: 記得沒錯的話這是和微積分的中間值定理有關係
: 請問各位前輩們知道這個定理該如何證明呢？或者說哪本書或網站有寫？
: 維基百科打上了「Root-finding algorithm」，但是好像沒什麼關係 :|
: 麻煩各位前輩指引方向，再次感謝各位前輩 <(_ _)>
提供一個看法
⊕ Theorem ⊕
1. [Heine-Borel]
A set K is compact in |R if and only if K is closed and bounded in |R.
2. If f:|R → |R is continuous on |R and K is compact in |R, then
f(K) is also compact in |R.
3. K is connect in |R if and only if K is an interval in |R.
由上面三個定理, 可推得
If f:[a,b] → |R is continuous on [a,b] where a,b are in |R, then
f([a,b]) = [m,M] where M = max f([a,b]) and m = min f([a,b]).
這個結果就是 Extreme value theorem 和 intermediate value theorem 的合體
最後, 把 f(a)‧f(b)＜0 給放進去, 就是堪根定理了.
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翩若驚鴻 婉若游龍 榮曜秋菊 華茂春松
髣彿兮若輕雲之蔽月 飄颻兮若流風之迴雪
遠而望之 皎若太陽升朝霞 迫而察之 灼若芙蕖出淥波
襛纖得衷 脩短合度 肩若削成 腰如約素 延頸秀項
皓質呈露 芳澤無加 鉛華弗御 雲髻峨峨 脩眉聯娟
丹脣外朗 皓齒內鮮 明眸善睞 靨輔承權 瑰姿豔逸 儀靜體閑 柔情綽態 媚於語言 奇服曠世 骨像應圖
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