[其他] 有關代數幾何（Algebraic Geometry）

[hau (小豪)]

我在研讀 Hartshorne 的代數幾何時，

（書中P.78的證明中）

１、在第二段寫到，想說明(t(V),α_* (O_V))是一個scheme over k

    提到，因為V可被open affine subvarieties複蓋，所以只要考慮V是affine的情況即

　　可。請問這是為什麼？

    我想過，假設V是affine時，(t(V),α_* (O_V))是一個scheme over k，那對一般

　　V來說，locally affine的地方用t作過去，它是scheme over k，但這不足以說明當

    初的V被t作用後是scheme over k，難道說(t(V),α_* (O_V)))可以用

    ( t(U_i),α_*(O_U_i) )拼起來？其中{U_i}是V的open affine cover

　　如果可以拼起來？要怎麼拼呢？

２、在P.78頁最後，書上簡單提到(X,O_X) iso. to (t(V),α_* (O_V))

    可是似乎不明顯，我試著詳細證明它如下：

　　Define ψ: X → t(V)

           ψ(P):= Z(P)......這裡指P這個prime ideal所對應到的variety，是V的
　　　　　　　　　　　　　　 irreducible closed subset.

    不難看出ψ是一個homeomorphism

   （直接檢查closed set拉回來、送過去都是closed set）


          #
    再來ψ  : ( α_* (O_V) ) (U) → O_X (ψ^(-1) (U) )
          U

    我希望上面這個map是isomorphism，但是我看很久看不出來。

　　（連定義都還無法嚴格的寫出來）

　　有一個困擾是X的點比V的點多很多出來！（把V的點想成對應的maximal ideal）

以上兩個問題，希望能與高手討論。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.114.203.148
→ GaussQQ     :雖然沒有去看書 但是依照你敘述的第一個問題
→ GaussQQ     :因為A scheme  局部看來說 是一個是在某個affine
→ GaussQQ     :scheme 所以你的證明可以假設這件事
→ GaussQQ     :換句話說 你所證明的事情現在都可以考慮限制在某個
→ GaussQQ     :affine scheme 去看
推 yusd24      :1. yes, 因為交集的地方相同(isom.)
→ yusd24      :2. 你可以先想想看α的 def. 兩邊其實是相同的