Re: [其他] 要怎麼知道自己適不適合數學系 ?

[yueayase (scrya)]

我個人覺得δ-ε對很多人來講,當然是不好理解,
因為高中大多注重運算技巧,而不大講究邏輯推論,
所以再碰到δ-ε敘述時,會不知道它在講什麼,
看看δ-ε敘述定義極限:

lim  f(x) = v means:
x->u

For every ε > 0, there exist δ > 0 such that

if 0 < |x-u| < δ, then |f(x)-v| < ε

如果從直覺的角度來看, 我想找出lim  f(x), 似乎就是找一個u'試試看,
                              x->u

看f(u')的值是多少,然後不斷縮小u和u'的誤差,觀察看看 f(u')是否會向某個定值
趨近(v)

但是,數學似乎無法容忍這樣不明確的敘述(??),像什麼叫做不斷縮小(靠近u),
什麼叫做趨向某定值,而且真的會趨近它嗎,會不會在u''< u'時,得到f(u'')>f(u')
之類,種種不確定性

所以數學家才發明出一邏輯敘述,來說明以上的問題,而發現到這樣的方式,
是極具說服力的,
我不需要說明用什麼樣的方式去靠近,或是有多接近,我只要(任意)給定一個和我
預期的目標(v)一個誤差值(ε),
我必定可以在定義域找到一個和u距離差δ的區間,
並且在這個區間中,每一個算出來的函數值,和我預期的v,誤差絕不超過,
我給訂的ε

如此一來,似乎就更能肯定lim  f(x) = v
                       x->u

但其實上面的解說或許還是有諸多語病,似乎也沒有把一些細節說清楚,
像:

(1) 照邏輯敘述看,應該是先隨便給一個ε,然後就固定了,才去看看說
    δ是否存在,且要能保證,你不管ε的值是多少,邏輯敘述都要成立,
    every, exist的順序應該是不能顛倒的,雖然我的直覺是,一直去
    試x,找出極限值

    似乎 δ 是和ε相依的, 或可說δ是ε的函數(δ(ε))

(2) if 0 < |x-u| < δ 這句話很有趣, 為什麼要大於0?
    |f(x)-v| < ε沒有啊,

    其實這就是極限有趣的地方,
    觀念是:我根本就不是要求f(u),而是去找f(x)在u附近的近似值,
    而很多情況下是很難直接找到,真正的解答(例如:算瞬時速度)
    所以我只好去逼近它
    但我要的目標不是近似值啊!!
    所以只好觀察看看數值變化了趨勢,看是否x越來越靠近u時,
    會去趨向某定值,這應該是我要的答案
    但畢竟不是去算f(u)(或根本無法直接求得),
    所以這個大於0,要說的應該是"趨近"u但"不等於"u

(3) 當 ε'< ε, 會不會出現 δ' > δ,
    感覺上是不會,因為δ'起碼可取為δ(從邏輯敘述)
    但 δ' < δ 嗎? 似乎無法確定...

以上是我目前為止對δ-ε敘述的認知,如果觀念有錯,
希望告訴我哪裡錯了,謝謝各位

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看了以上冗長的敘述(不管對或錯),δ-ε敘述並不是一般人能夠馬上去了解的,
更不用說體會它的精神,

感覺上一個邏輯敘述似乎有很多細節是人類容易去忽略的,而這些忽略,在往後
很有可能造成一些解題上的麻煩,但又不可能一次注意到太多(重要)的細節,
所以個人覺得,數學上最難的好像是邏輯集合論(要辨認一句敘述的對錯,需要
足夠的經驗和敏銳的思考)
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所以一開始搞不懂,其實沒有太大的關係


而其實數學上,也不是只有在搞定理證明,像如果學組合學的話,
有些東西實在是比較注重計算技巧(或可說是根本就在教計算技巧)
Ex: Solve recurrence equation

有些著重在對問題的分析,像排列組合和機率,工具其實不是用很多,
但很重觀念和分析題目

當然如果是XX分析,就是和高微差不多的樣子,重邏輯思考和一些不等式的技巧

而計算理論是資工系的理論,它本身也是注重邏輯思考的

這種東西,定義定理一定要抓得很牢,否則不但習題不會作,
而且後面也有可能看不懂


以上是我對數學的認知

但我覺得看這些數學工具和定理的觀點,終究會影響對數學學習結果
例如:好不好去記,好不好去了解或去舉例(舉反例)
所以一開始可以先不去管太細的東西,多去請教老師或大師,
會有不同的感受

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 111.251.160.115
推 physicist512:請問本篇有說出用什麼做為適合唸數學的指標嗎??XD
→ sardine     :(1)δε代表的都不是一個點,在直觀的意義上是一個
→ sardine     :   兩軸上的區間關係,它表示的是對任意的落差為ε的
推 sardine     :   區間,可以在當定義域限制在某個距離內時包容
→ sardine     :δ為不為零只是連不連續的問題 極限的意義不在那個
→ sardine     :δ=0的點上 而是在他的附近
→ sardine     :δε並不是像你所描述的變成點對點的關係
→ sardine     :第三點同上 你的想法裡把ε'εδ'δ都固定成一個點
→ sardine     :了
→ sardine     :在平面上你大可以畫出兩個重疊交錯的矩行
→ sardine     :函數在你限制了δ絕對不會出現在哪些區域這樣很直觀
→ sardine     :極限的意義只在那個點的附近 也可以說太大的定義域
→ sardine     :沒什麼意義 δ小於某個程度後 才會浮現極限意義
→ sardine     :你描述ε'εδ'δ這種情況只會發生在δ還太大的時候
→ sardine     :但是這些定義中都描述的很完整 不需要更多的東西去
→ sardine     :重複定義一些事情  定義要夠嚴謹也要盡可能的包容
→ sardine     :在證明時只不過是抓了"某個"δ"某個"ε來證明他
→ sardine     :εδ各自都是無限多個 並不會當你固定其中一者後
→ sardine     :另一者就也被固定住了 他依然還是一個range
→ sardine     :而我們的目標只是(u,v)而已 不是(u,f(v))
→ sardine     :我想你只是點跟距離的概念上因為代號上看起來都一樣
→ sardine     :被模糊掉了而已
→ yueayase    :看起來果然不太容易,把定義弄到正確,εδ似乎
→ yueayase    :用點來看不太恰當,看來果真是沒有弄得很清楚
→ yueayase    :另外,是不是和數學系的問題,因該是我模糊了焦點
→ yueayase    :另外,是不是和數學系的問題,應該是我模糊了焦點
→ yueayase    :我只是想強調說,不會δε敘述,並非說就嚴重到不適合
→ yueayase    :念數學系
→ yueayase    :照這樣的要求,到底有多少人可以讀?
→ yueayase    :而且看來我當初有沒有仔細把定義看好,所以連續性可包
→ yueayase    :把(好像是一定?),大於0的部分去掉?