作者ckchi (飄)
看板Math
標題Re: [中學] 計數問題
時間Thu Mar 3 18:19:11 2011
※ 引述《andy2007 (...)》之銘言：
: 原文出處：
: http://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=11996
: 裡面有提出一個問題：
: 「平面上一般位置的四條直線(一般位置即任三線不共點) 把平面分成幾塊？」
: 高中的排列組合大概都停在這個層次，即給一個特殊的情境，
: 我們要算滿足這個情境下的集合的元素個數，這個問題的答案是11塊。
我想一般位置應該還要加上一個條件
即任兩線必相交 (也就是沒有平行線的條件下)
: 2
: n + n + 2
: 比如上例，平面上一般位置的ｎ條直線可以把平面分成f(n) = ------------- 塊。
: 2
: 請問這個公式是怎麼來的呢？
那些高深的理論我不懂，無法回答你
但以這個問題的角度來想
我覺得這個式子可以寫成 f(n) = 1 + n(n+1)/2
以下解釋我的想法：
試想：
如果沒有線時，這個平面理所當然是 1 塊
1條線時，這個平面被切成了 2 塊
換言之，多出了 1 塊
你可以想像成在原本的平面的邊邊補了一刀
(換言之，這個 2 = 1+1)
2條線相交時，這個平面被切成了 4 塊
為什麼是 4 塊?
和上面一樣的，你可以想像成在原本的平面邊邊補了一刀
但不同的是，這個『邊邊』已經被原有的1條線切成 2 塊了
所以補了一刀後多出了 2 塊
(換言之，這個 4 = 2+2 = 1+1+2)
那麼，3條線相交時呢?
同樣的想法，在原本的平面邊邊補了一刀
由於此時的邊邊已被原有的2條線切成 3 塊
因此補了一刀後多出 3 塊
換言之，共有 4 + 3 = 7 塊
(即 1+1+2+3)
照這想法...
補上第 n 刀時
都會比之前多出了 n 塊
換言之，共有
1 + 1 + 2 + 3 + ... + n
= 1 + (1+2+...+n)
= 1 + n(n+1)/2
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◆ From: 140.116.89.133
推 yueayase :當初在看一些離散數學的書時,好像有類似的,覺得這個 03/03 18:35
→ yueayase :這個方法真的很不錯 03/03 18:35
→ ckchi :謝謝 其實我只是喜歡胡思亂想而已 運氣好有答案 03/03 22:23
→ ckchi :不過原po後面那些問題我就沒辦法回答了 03/03 22:30
推 andy2007 :好方法！感謝ckchi～等等再來詳細看過，再次感謝您~ 03/04 01:01
推 justin0602 :請問什麼是邊邊 我都不懂 在哪邊叫做邊邊補一刀 03/04 11:20
→ ckchi :喔 我這邊的『邊邊』 指得是遠離已有交點的地方 03/04 16:25
→ ckchi :換句話說，就是這一刀切下去 其中一邊沒有舊的交點 03/04 16:26
→ ckchi :在沒有平行/共點時 新線一定會和所有舊線分別相交 03/04 16:27
→ ckchi :此時舊交點所在那一半和上一張圖的數量是相同的 03/04 16:27
→ ckchi :而另外一半就是我所謂『多出來』的部份 03/04 16:28
→ ckchi :我畫了幾張圖 希望能幫助了解 03/04 16:57
→ ckchi :別忘了空間和線可以無線延伸的 03/04 16:58
