[微積] 想請問一題微積分解法

[pcpo8992 (E~T shot)]

題目 lim {tan(x)-sin(x)}/x^3 =1/2
    x→0

因為是0分之0的形式所以可以用羅畢達解

但是我看課本上有說一個解法是不被允許的

想請問為什麼

以下是解法

lim {tan(x)-sin(x)}/x^3 = lim {{sin(x)/cos(x)}-sin(x)}/x^3
x→0                    x→0

=lim {sin(x)/x} *{{ 1/cos(x)}-1}/x^2
x→0

=lim {sin(x)/x} * {1-cos(x)}/{x^2*cos(x)}
x→0

因為lim sin(x)/x=1
   x→0

所以原式= lim {1-cos(x)}/{x^2*cos(x)}=...
         x→0



書上說這種分段式是不被允許的

但是沒說為什麼

想了一個下午也不知道

想請板上大家幫個忙


謝謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.115.219.202
推 znmkhxrw    :哪裡等於1...明明就是0
→ cisbpmtw    :為甚麼x無限大 sin(x)/x=1? x->0時才是吧
※ 編輯: pcpo8992        來自: 140.115.219.202      (03/03 21:53)
→ pcpo8992    :不好意思打錯了
→ suker       :http://tinyurl.com/47jr9zx
→ suker       :等號右邊的極限存在並且不為無窮時才成立
→ suker       :所以不是所有式子 隨便拆開
推 znmkhxrw    :耶...答案一樣阿= =  可以拆阿@@
→ suker       :這題沒影響  另一邊不定型0/0 極限存在
→ suker       :嚴謹要證明cos那邊 極限存在
→ suker       :舉誇張一點不是好例子 5=5x*1/x when x->0 =0*∞
推 znmkhxrw    :所以用L'去看cos那邊  如果存在 就可以了吧
→ pcpo8992    :恩恩了解謝謝大家幫忙