※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: Consider f:R→R , f is differentiable at xo , but f' is not continuous at xo
: fix xo, MVT tells us
: f(x)-f(xo)
: ───── = f'(c(x)) , where xo─c(x)─x (i.e. c由x而變動)
: x - xo
: Now we let left hand side A(x) , right hand side B(x)
: we know A(x)=B(x) , for all x€R\{xo}
: But
: lim A(x) = f'(xo)
: x→xo
: 如果藉此我們說因為左邊極限存在
: 右邊也要跟著如此
: 所以
: lim B(x) 應該要 = f'(xo)
: x→xo
: 可是
: lim B(x) = lim f'(c(x)) = f'(xo)
: x→xo x→xo
: 這個等號只成立在f' is continuous at xo
關鍵在於 c
lim f'(c(x)) = f'(xo)
x→xo
"這個等號只成立在 f' is continuous at xo "
這句話是錯的!!
1
例如, h:(0,∞) → |R s.t. h(x) ＝ sin(──) for all x in (0,∞).
x
1 1 1
c: (0,1) → |R s.t. c(x) ＝ ──── if x in [───,──) for all x in (0,∞)
2nπ n+1 n
where n are integrers.
Clearly, h has no right limit as x tends to 0+, but
ｌｉｍ h(c(x)) ＝ ｌｉｍ sin 2nπ = 1.
x→0+ n→∞
原文中的 f' 不連續在 x , 但不表示 f'。c 在 x 是不連續的!!
0 0
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翩若驚鴻 婉若游龍 榮曜秋菊 華茂春松
髣彿兮若輕雲之蔽月 飄颻兮若流風之迴雪
遠而望之 皎若太陽升朝霞 迫而察之 灼若芙蕖出淥波
襛纖得衷 脩短合度 肩若削成 腰如約素 延頸秀項
皓質呈露 芳澤無加 鉛華弗御 雲髻峨峨 脩眉聯娟
丹脣外朗 皓齒內鮮 明眸善睞 靨輔承權 瑰姿豔逸 儀靜體閑 柔情綽態 媚於語言 奇服曠世 骨像應圖
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