推 raymond168 :我瞭解了，感謝y大的指點!! 03/06 11:44
※ 引述《raymond168 (raymond168)》之銘言：
: 題目如下:
: n-1 (nt)^k 1
: Show that lim exp(-nt)Σ --------=1 for 0<t<1, =--- if t=1, and 0 if t>1.
: n→∞ k=1 k! 2
: 不曉得該如何計算
: 拜託板上各位高手幫忙
: 謝謝!
: P.S.
: 附上原題目連結:
: http://ppt.cc/e(75
令 Xn～Poi(nt), 則所求為
lim P[1≦Xn≦n-1].
n→∞
因:
P[Xn=0] = e^{-nt} → 0 當 n→∞, for all t>0.
故 lim P[1≦Xn≦n-1] = lim P[Xn < n].
利用 CLT, 得
P[(Xn - nt)/√(nt) < z] → Φ(z).
即
P[ Xn < nt + z√(nt) ] → Φ(z).
0<t<1 時, nt + z√(nt) < n, 只要 n 夠大, for any z.
故 lim inf P[Xn < n] ≧ Φ(z), for any z,
故 P[Xn < n] → 1 當 n→∞.
t=1 時, P[Xn < n] → Φ(0) = 1/2.
t>1 時, nt + z√(nt) > n, 只要 n 夠大, for any z.
故 lim sup P[Xn < n] ≦ Φ(z), for any z,
故 P[Xn < n] → 0, 當 n→∞.
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