Re: [線代] 一個特殊矩陣

[yueayase (scrya)]

其實後來我想到一個高中生也能理解的辦法:

|1-k   1   1 ....   1  |     | n-k   1    1  ...1  |
| 1   1-k  1        1  |     | n-k  1-k   1     1  |
| 1    1  1-k       1  |     | n-k   1   1-k    1  |
| ...                  |   = |...                  |   (全部加到第一行)
|                      |     |                     |
| 1    1    1      1-k |     | n-k   1    1    1-k |


                                  | 1  1  1 .... 1 |
                           = (n-k)| 1 1-k 1      1 |
                                  | 1  1           |
                                  | ....           |                       |
                                  |                |
                                  | 1  1  1     1-k|


                                   | 1  1 ..... 1 |
                           = (n-k) | 0 -k 0     0 |
                                   | 0  0 -k ...0 |
                                   | 0  0 ....    |  (利用第一列消去其他列)
                                   |....          |
                                   | 0  0 ....0 -k|

                                       n-1
                           = (n-k) (-k)    (用第一行降階, 且底下的為對角矩陣)

                           = 0


  => k = 0, 0,... , 0, n

          (n-1個)


   -----------------------------------------------------------------------

    看來我做數學做太少了,又對Jordan Form不熟,
    當初高中參考書好像都有出現這種題目,
    結果竟然忘了,想了好幾天,都想不出來,

    剛才才想到這一招,唉 ( ︶︿︶ )




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◆ From: 111.251.161.229
推 sato186     :確實簡單
→ yueayase    :你那個證明寫得很漂亮,只是我發現好像大學念久了
→ yueayase    :會忘記這些很簡單,很基本的做法,好可怕
推 powerkshs   :現在高中有教eigenvalue!?
推 xx52002     :我會想要用gm(0)=n-1 所以am(0) >= n-1 XD
→ xx52002     :再用tr(A)-0->n 所以eigenvalue就是0,0,...,n 0.0
→ xx52002     :黃子嘉做法 可以一般化到對角項相同 其他項相同矩陣
→ xx52002     :其實第一篇有人推了 QQ
推 powerkshs   :原來這是黃子嘉的做法@@我是自己想的....XD
→ powerkshs   :我沒念過黃子嘉
→ yueayase    :其實這一題的重點是解出det(A-kI)=0的方程式,
→ yueayase    :而不是要求高中生會eigenvalue
→ yueayase    :如果今天把這樣的行列式寫出來,要高中生求k
→ yueayase    :基本上,高中生可以解
→ yueayase    :不過你那個方法我覺得也是蠻好的,不過要先加
→ yueayase    :Obviously, det(A-0I)=0 since rank(A) < n,比較完整
→ yueayase    :好像也不用(昏了)
→ yueayase    :不過真的感謝你們提供這種解法
推 SS327       :XX大的方法比較好  你是程老師的學生嗎