※ 引述《yaushu (yaushu)》之銘言：
: Let a_0 be a positive real number.
: ________
: a_n=√1+a_n-1 for every positive integer n
: 要證明數列{a_n} 收斂
: 在證明數列有上界時 用數學歸納法
: 但此題沒給起始值 因此不知對所有的n a_n 一定會比誰小
: 可請板上的大大幫忙嗎?
(1) a_0 > 0 ==> a_1 > 1 > 0 ==> a_n > 1, all n≧1.
在 a_n > 1 之下:
(2) a_{n+1} > a_n <==> 1+a_n > (a_n)^2
<==> a_n < (1+√5)/2
a_{n+1} < a_n <==> a_n > (1+√5)/2
又:
(3) a_n > (1+√5)/2 ==> a_{n+1} > (1+√5)/2
a_n < (1+√5)/2 ==> a_{n+1} < (1+√5)/2
因此:
當 0<a_0<(1+√5)/2 時,
a_n 是 increasing, 上界 (1+√5)/2 的數列;
當 a_0>(1+√5)/2 時,
a_n 是 decreasing, (1+√5) 為其一下界;
當 a_0=(1+√5)/2 時, a_n≡(1+√5)/2.
結果, 無論 a_0 是多少, 只要 a_0>0, 則 lim a_n 存在.
其極限 a 由 a=√(1+a) 且 a≧0 得 a=(1+√5)/2.
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