Re: [微分] 勘根定理

[sato186 (銀色轟炸機)]

※ 引述《immortal8305 (immortal)》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 trans_math 看板 #1DSwZ0RD ]
: 作者: immortal8305 (immortal) 看板: trans_math
: 標題: [微分] 勘根定理
: 時間: Sun Mar  6 23:31:09 2011
: Let p(x) be a polynomial of odd degree with real coefficient.Then equation
: p(x)=0 has at least one real root.prove this.

                n         n-1
Set p(x) ＝ a  x  + a    x    + ... + a  x + a  has odd degree.
             n       n-1               1      0

WLOG, assume that a  ＞ 0. Let M ＝ max {|a |, |a   |, |a |, |a |, 1.}.
                   n                       n     n-1     1     0
                                                                 1
Since a  ＞ 0, there exists a positive integer N such that a ＞ ── .
       n                                                    n    N

                 n         n-1        n-2
So p(kM) ≧ a (kM) – M(kM)   – M(kM)   – ... – M(kM) – M ＝
             n
               n                        n
   n  n    n  k -1         n  n    n   k -1             1     n
a k  M – M ──── ≧ a k  M – M  ──── ＞ (a – ──) k
 n            k-1        k              N          k    N


for k-1 ≧ N. So p( (N+1)M ) ＞ 0. Similarly, p( -(N+1)M ) ＜ 0.

By intermediate value theorem, p(c) ＝ 0 for some c in ( -(N+1)M, (N+1)M ).

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　　　　　　　　　 翩若驚鴻　婉若游龍　榮曜秋菊　華茂春松
　　　　　　　　　 髣彿兮若輕雲之蔽月　飄颻兮若流風之迴雪
　　　　　　　遠而望之 皎若太陽升朝霞　迫而察之 灼若芙蕖出淥波
　　　　　　　襛纖得衷　脩短合度　肩若削成　腰如約素　延頸秀項
　　　　　　　皓質呈露　芳澤無加　鉛華弗御　雲髻峨峨　脩眉聯娟
　　　　　　　丹脣外朗　皓齒內鮮　明眸善睞　靨輔承權　瑰姿豔逸　　　　　　　　　　　　　　　儀靜體閑　柔情綽態　媚於語言　奇服曠世　骨像應圖

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