Re: [代數] Hungerford代數上的習題

[herstein (翔爸)]

※ 引述《hotplushot (熱加熱)》之銘言：
: 先述說一個定理
: Thm
: If F is a free abelian group of finite rank n and G is a nonzero subgroup of F
: then there exists a basis {x(1),...,x(n)} of F,an integer r(1≦r≦n)
: and positive integers d(1),...,d(r) such that d(1)|d(2)|...|d(r)
: and G is free abelian with basis{d(1)x(1),...,d(r)x(r)}.
: 1.
: Let G be a finitely generated abelian group in which no element(except 0)
: has finite order.
: Then  G is a free abelian group.(提示:使用上面定理)
: 我的想法:
: 第一步 建造一個abelian group F使其有basis,自然F就是自由群
: 第二步 證明G為F的子群  根據上述定理  自然G就是自由交換群
: 請問這想法對嗎?
: 如果對  要怎麼更確切寫出來(如果對 我覺得第一步比較難寫出來)

YES. Let X={x_1,...,x_n} be a set of generators of G.
Consider F(X) and the natural map f:F(X)-> G. Apply the theorem
to ker f. Here F(X) is the free abelian group generated by X
and the map f is the epimorphism given by x_i->x_i.

: 2.
: The direct sum of a family of free abelian group is free abelian.
: 這題暫時沒什麼頭緒
: 請版友能給予協助  感激不盡

Can you find a basis for the direct sum? if you have a basis for
each member of the family. This is my idea but you can have different idea.

我的基礎代數忘的差不多了~~所以僅供參考~~~XD


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 128.120.178.219
→ yusd24      :2. 可以 apply 1. 的結果
→ yusd24      :抱歉..不行XD  那只能把 basis 寫出來了
→ herstein    :應該有別種做法啦只是我想到用基底的話應該比較簡單
推 hotplushot  :請問大大 natural map的意思  還有C是什麼??
※ 編輯: herstein        來自: 128.120.178.219      (03/07 16:35)
→ xcycl       :用「有限生成交換群基本定理」就解決了說 ...
→ xcycl       :有 finite order 的話，分解的群中至少有一個不是 Z
→ xcycl       :所以都是 G = Z^n = F1 + ... + F1 = F(1 + ... + 1)
→ xcycl       := F(n)
→ herstein    :對呀~~~我只是把這個定理給證一遍而已XD
→ herstein    :只是在沒有finite order的case就變得很簡單了
→ herstein    :而這個過程也的確是有限生成交換群基本定理的證明
→ xcycl       :嗯，只是少了 direct sum 的 quotient 部份
→ herstein    :因為在這情況下ker f=""XDDDDDD