Re: [中學] 暑期奧林匹亞研習營

[blackpaladin (我不是研究僧)]

※ 引述《j19951102 (j19951102)》之銘言：
: 無限正整數列a_1,a_2,a_3.....滿足：
: 1. 對於每一個正整數k都有k|a_k
: 2.|a_(k+1)-a_k|≦5
: 請問a_1的最大可能值是多少?

無聊試一下

首先，k是A_k的因數

但是由於|a_(k+1)-a_k|小於等於5

因此A_k超過k的6倍時 會找不到A_(k+1)

例如： A_100= 600 時
       A_101在[595,605]內
       但是最接近的倍數是606 就掰掰了



因此，以考慮5的倍數為主要解決內容

夠大的k 都會迫使A_k=5k

而且，對於A_k 前一項與後一項都在 [A_k-5,A_k+5]內

其包含的範圍最多共11個正整數

只要這範圍內有兩個數可作為A_(k-1) 即是找解的關鍵

因此由A_(11)=55 開始

先確定A_(12)=60 為唯一解

接著  A_(10)=50 或 60    取A_(10)=60
                           A_(9)=63
                           A_(8)=64
                           A_(7)=63
                           A_(6)=66
                           A_(5)=70
                           A_(4)=72
                           A_(3)=75
                           A_(2)=80
因此最大的A_1=85


歡迎指正


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 163.30.174.1
推 JohnMash    :推
推 j19951102   :可以取A_10=70，這樣A_1可以取更大
→ j19951102   :算錯，不要理我= =
推 a016258     :推推
推 j19951102   :A_2 可以為80
→ blackpaladin:感謝J19
以應J19大更正
※ 編輯: blackpaladin    來自: 163.30.174.1         (03/08 17:47)
推 j19951102   :不過，要怎麼證明這樣取出來的是最大的?
→ j19951102   :可以，a_1,a_2.....a_k都為 (a_1)*(a_2)...(a_k)
→ j19951102   :這樣明顯符合條件，這時必可以取到a_(k+1)使
→ j19951102   :p*(a_k)+q*(a_k+1)=1 因為k與k+1互質
推 ntnusliver  :因此A_k超過k的6倍時 會找不到A_(k+1)  這句話有誤
→ ntnusliver  :EX A_100= 9600   A_101=9595
→ ntnusliver  :當然我的例子繼續推可以知道有誤...
→ ntnusliver  :但... 不能保證數字小時 6的倍數以上都不行
推 ntnusliver  :a_11 最大仍是55  只是需要一番證明的
→ blackpaladin:感謝ntnu大
雖然ntnu大給了解法

但是我還是自救 自己修一下自己的敘述


現在 設A_k=N*k 而且N大於等於6

則下一個預測可能的的A_(k+1) 與(k+1)*N有關

它是(k+1)*(N-m) 其中m為正整數 (因為(k+1)*N必定不合)



A_(k+1)落在 [A_k-5,A_k+5]時 會找到A_(k+1)

而(k+1)*(N-m)=(k+1)*N-(k+1)*m

在(  (k+1)*N-(k+1)  ,  (k+1)*N  ] 都不會是A_(k+1) ---------(*)


只要取的項數k 使得k+1>N+6 ---------------------------------(**)

根據(*)的推論 並帶入(**)

(  (k+1)*N-(N+6)  ,  (k+1)*N  ] 都不會是A_(k+1)

這範圍就會包住 [kN-5 , kN+5]



這樣我就補好我的論點了 哈哈哈哈哈






※ 編輯: blackpaladin    來自: 163.30.174.1         (03/09 10:34)
→ blackpaladin:不過 感覺ntnu大取的結果 恰好在範圍下限 挺巧合的
推 ntnusliver  :請問(*) 是怎麼推得的？
→ ntnusliver  :取K=11  N=11  ak=121  a_12= 120
→ ntnusliver  :抱歉 我看錯了   我再想想
推 ntnusliver  :（*）弄懂了...
推 j19951102   :兩位的解法都很厲害，謝謝了