※ 引述《smaitesai (我朋友)》之銘言：
: 終於學到最後一章了!!!
: 下面這些題目 所有可能(S)和事件的可能(A) 要怎麼算??
: 希望用中文引導我一下
: 一、
: 擲一粒公正的骰子三次，則三次點數之和為10點的機率為______
Sol:
n(S) = 6 x 6 x 6 = 216 (利用乘法原理)
令x1表示第一個骰子的點數
x2表示第二個骰子的點數
x3表式第三個骰子的點數
則 x1 + x2 + x3 = 10, 1 <= x1, x2, x3 <= 6
將上式改成: (x1-1) + (x2-1) + (x3-1) = 7
令 x1' = x1 - 1, x2' = x2 - 1, x3' = x3 - 1
則 x1' + x2' + x3' = 7, 0 <= x1, x2, x3 <= 5
我們可以利用重複組合的概念求 x1' + x2' + x3' = 7 的非負整數解
(7+3-1)! 9 9 x 8
=> 有 ----------- = C = ------- = 36種可能
7! (3-1)! 2 2 x 1
但是在這些中有些x1'(x2',或x3')會超過5,則要去除這些可能性
我們在做的時候,可以先假設是x1'超過(其他x2'或x3'也會得到相同的結果)
1+3-1
同理,令x1'' = x1' - 6 => x1'' + x2' + x3' = 1的非負整數解有 C = 3
1
種可能
則 n(A) = 36 - 3 x 3 = 27
所以機率 P(A) = 27/216 = 1/8
Note: 也可以考慮 10 的分解:
10 = 6 + 3 + 1 => 3! = 6
= 6 + 2 + 2 => 3!/2! = 3
= 5 + 4 + 1 => 3! = 6
= 5 + 3 + 2 => 3! = 6
= 4 + 4 + 2 => 3!/2! = 3
= 4 + 3 + 3 => 3!/2! = 3
(把數字做排列就對了,4+5+1之類的被刪除,因為和5+4+1重複,
且我們要對這些作排列)
: 二、
: 設集合A={1,2,3,4,5,6}，若從集合A中任取二數出來，則
: (1) 此二數之積是偶數的機率為____
: (2)此二數之和是奇數的機率為____
Sol:
(1) 可考慮用反面解: 先求出兩數之積是奇數(因為如此一來兩數都要是奇數)
6
n(S) = C = 15
2
_ 3
n(A) = C = 3 (從1,3,5拿出兩個,且A為(1)敘述的事件)
2
_
=> P(A) = 1 - P(A) = 1 - 3/15 = 4/5
Note: 你也可以考慮把事件A拆成兩事件:
A : 兩數為一偶一奇
1
A : 兩數都是偶數
2
且注意到這兩個是互斥的(如果我們用同樣的樣本空間,就不考慮兩數的順序)
3 3
則 n(A ) = C x C = 9
1 1 1
3
n(A ) = C = 3
2 2
則 n(A) = n(A ) + n(A ) = 9 + 3 = 12
1 2
所以 P(A) = 12/15 = 4/5
(2) 這等於是求取出的兩數為一偶一奇的機率(且不考慮順序)
n(S) = 15(同上)
n(A) = 9 (上面的n(A ))
1
=> P(A) = 9/15 = 3/5
: 三、
: 任意四人中都沒有在同一月份生的機率為_____
n(S) = 12 x 12 x 12 x 12 (四人的月份都從12個月中任選)
n(A) = 12 x 11 x 10 x 9 (第一個人從12個月分中任選,
第二個人剩下11種可選,以此類推,
想想排列的精神:從不同的物件(月份)取出不同的種的,
但要考慮順序(不同的人))
P(A) = 12 x 11 x 10 x9 / (12 x 12 x 12 x 12) = 165/288
: 四、
: 設甲乙丙三人合住一室，每天抽籤決定一人打掃，
: 則在三天中恰好每人各打掃一天的機率為_____
n(S) = 3 x 3 x 3 = 27 (第一天從甲乙丙任選一人,第二天,第三天也是一樣)
每個人各打掃一天,可想成若某一個人在第一天打掃,第二天就從另外兩人選一人.
剩下的在第三天
而第一天有3種選擇(誰都可以),第二天有2種(例如丙在第一天,就只能從甲乙選),
第三天有1種
=> n(A) = 3 x 2 x 1 = 6
所以 P(A) = 6/27 = 2/9
: 五、
: 二袋中各有20個球，球上各標有1 2 3 4…20，
: 今隨機從兩袋中各取一球，則此二球號碼之差是5的機率為_____
n(S) = 20 x 20 = 400 (兩袋各有20個)
從1,...,20會差5的情形有15種 ( (20,15),(19,14),...,(6,1) )
此外不同的兩袋,點數((20,15),...(6,1))要互換
=> n(A) = 15 x 2! = 30
故 P(A) = 30/400 = 3/40
: 六、
: 三位乘客任意坐入五部計程車，則恰好有三部是空的機率為_____
n(S) = 5 x 5 x 5 = 125 (第一位從5部選一部,第二位,第三位亦同)
5
n(A) = C x 2 x 2 x 2 = 80 (先選出3部計程車為空,乘客坐另外2部)
3
所以 P(A) = 80/125 = 16/25
: 七、
: 甲乙丙丁四人猜拳遊戲，各出剪刀、石頭、布三者之一，
: 則形兩人贏、兩人輸的機率為_____
n(S) = 3 x 3 x 3 x 3 = 81 (第一個人出一種拳,第二,第三第四也是如此)
3 4 2
n(A) = C x C x C = 18
2 2 2
| | |
-----|----|-------->從三種拳選兩種(才有輸贏)
|----|-------->從4人選2人,作為贏方
|-------->剩下2人,為輸方
故 P(A) = 18/81 = 2/9
希望沒有搞錯~~
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◆ From: 111.251.167.102
※ 編輯: yueayase 來自: 111.251.167.102 (03/08 19:10)
※ 編輯: yueayase 來自: 111.251.167.102 (03/08 19:12)