※ 引述《lilygarfield (沒有~沒有~又沒有)》之銘言：
: (√5 + 2√3)^20 的整數部分為何？
: 嗯~
: 其實數字是亂掰的...
: 因為我知道有些特殊數字，是可以求出特別的答案？
: 習得技巧後~
: 覺得無言可說...
: 不過~ 如果像是這種無理數的題目...
: 想要知道整數部分是多少？
: 可是因為展開的二項式 C 會影響整數
: √5 雖然是 2.23 但次方多了後~ 也會影響整數位
: √3 也是...
: 於是~ 想要正確知道整數，就變得難多了...
除非有很有趣或富教育意義的方法，不然我認為這個本來就不是叫人算的。
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原本算(√a + √b)^n 的特殊方法應該是在 |√a - √b|< 1 時才有用
令 A=√a + √b, B=√a - √b (其中a>b)
有AB= a-b (整數), A^2+B^2 = 2a^2+2b^2 (整數)
2n 2n 2n-2 2n-2 2 2 2 2 2n-4 2n-4
又有 A + B = (A + B ) (A + B ) - A B (A + B ) 也是個整數
當n夠大，B^2n -> 0則 A^2n+B^2n就是最接近(√a + √b)^n的整數，即整數部分+1
即使如此還是要算n次才能得到答案。
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要取得特定精確度的解用數值方法反而還比較瀟灑。以下引入計算機。
我們要取一個 A =√5 + 2√3 的近似，一般用兩個長整數或超長整數表成比值m/n，
令這個m/n=α(有理數), A = α +ε (誤差)
n n n-1
A ～ α + n α ε + ...
n+1
再這裡要取到整數精確相當於誤差項 0< n α ε < 1，即
- logε > log n + (n-1)logα
知道ε的magnitude之後就可以用直式開方或Babylonian method得到√5 + 2√3的一個
足夠好的近似α，使得 A^n ～ α^n
可能有其他更有效率(但也更艱深)的數值方法就不在獻曝的範圍內了=^=
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