作者yueayase (scrya)
看板Math
標題Re: [其他] 請教一題證明題
時間Thu Mar 10 23:45:09 2011
※ 引述《heroherog (唯一)》之銘言：
: 題目是
: 1 3 5 2n-1 1
: ── * ── * ── * ...... * ── < ─
: 2 4 6 2n 10
: 請問 n = ? 成立 ，並證明之。
: 除了硬算之外我真的想不到怎麼解...
: 拜託高手幫忙，感激不盡
我嚐試這麼作:
1 3 5 2n-1 1 x 2 x 3 x...x (2n-1) x 2n
--- x --- x --- x ... x ------ = ----------------------------
2
2 4 6 2n (2 x 4 x ... x 2n)
(2n)!
= ------------------------
n 2
(2 x 1 x 2 x ...x n)
(2n)!
= ------------
n 2
4 x (n!)
1 (2n)!
= ----- x ----------
n
4 n! n!
1 2n
= ------ C
n n
4
1 2n
長的有點像 Catalan number: C = ------ C
n (n+1) n
n
1 2n 4
但不知道為什麼: C = -------- C ~ -----------
n (n+1) n 3/2
n √π
則
1 2n (n+1)
---- C ~ ----------
n n 3/2
4 n √π
1 3 5 2n-1 (n+1) 1
=> --- x --- x --- x ... x ------ ~ ---------- < ----
3/2 10
2 4 6 2n n √π
2
平方 => (n+1) 1
--------- < -----
3 100
π n
2
1 (n+1) π
=> ----- x ------ < -----
n 2 100
n
1 1 2 π
=> --- x (1 + ---) < -----
n n 100
1 1 2
很明顯的, 1 < 1 + --- < 2 => 1 < (1 + ---) < 4
n n
1 100
=> n x ----------- > -----
1 2 π
(1 + ---)
n
1
=> n > n x ----------- > n/4
1 2
(1 + ---)
n
100
=> n > ----- ~ 31.xxxxx...
π
好像很接近,但流程 .... , 好像在胡說八道的樣子?
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.251.180.1
→ Sfly :那個"不知道為什麼"=by Stirling's formula 03/10 23:48
→ yueayase :喔 03/10 23:49
→ Sfly :'~' 並不能給你 '<' 03/10 23:50
→ yueayase :天哪!! 03/10 23:51
→ jurian0101 :哀，近似式後面那個大O的重要性，老師不會教。 03/10 23:54
→ yueayase :真是獻醜了 XD 03/10 23:54
→ yueayase :這好像只是巧合? 03/10 23:55