※ 引述《gauss760220 (章魚)》之銘言：
: 1.積分範圍:0到無窮大 積分函數:x*sin(ax)/(x^2+b^2) 其中a>0且b>0
∞ ∞
∫x sin(ax)/(x^2+b^2) dx = (1/2)∫x sin(ax)/(x^2+b^2) dx
0 -∞
∞
=Im (1/2)∫x exp(iax)/(x^2+b^2) dx，其中 Im 表示取虛部
-∞
z^2 + b^2 = 0 → z = +- ib，兩個 simple pole
取複數平面的 contour C = C1 + C2
C1: 實數軸 → ∫ 是原積分式
C1
C2: 半徑為 ∞ 的上半圓 → ∫ 等於零 → ∫ = ∫
C2 C C1
在 C 裡面的 pole 只有 z = ib
原積分式 = ∫ = ∫
C1 C
|
= Im (1/2) 2πi z exp(iaz)/(2z)|
|z = ib
= Im πi ib exp(ia ib)/(2ib) = Im πi exp(-ab)/2 = πexp(-ab)/2
: 3.積分範圍:0到無窮大 積分函數:sin(3t)/t
∞
∫sin(3t)/t dt
0 ∞
令 x = 3t，原積分式等於 ∫sinx/x dx = π/2
0
計算方法請見精華區 z-3-8
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◆ From: 211.20.185.36