Re: [證明] 幾題證明、排組請教大家

[JohnMash (Paul)]

※ 引述《kusoayan (瑋哥)》之銘言：
: 2.
: 設A為3x3的方陣。
: 對任何三維向量u、v 均有 |Au x Av| = |u x v| (兩個向量外積的絕對值)
: (1) 設u、v、w為三維向量，互相垂直且長度為 1，
:     證明 Au x Av 和 Au x Aw也是互相垂直且長度為 1
: (2) 證明 |Au| = |u| 對所有三維向量u 均成立


     let A =[x y z] where x, y, z are column matrices

     let u=[1 0 0]^t, v=[0 1 0]^t, w=[0 0 1]^t

     then

       |x×y|=|y×z|=|z×x|=1

     let u=[1 0 1]^t, v=[0 1 0]^t

       then |(x+z)×y|=√2

            |x×y+z×y|=√2

      by Pythagorean Theorem

         (x×y) and (y×z) are othogonal

      Similarly, (x×y)=e3, (y×z)=e1, (z×x)=e2 are all othonormal


      [(y×z)^t] [x y z]=[x.(y×z)    0           0]
      [(z×x)^t]         [0        y.(z×x)       0]=x.(y×z) I
      [(x×y)^t]         [0           0    z.(x×y)]


       hence x=(x.e1) e1
             y=(y.e2) e2
             z=(z.e3) e3

       then x=±e1, y=±e2, z=±e3

      then A.A^t=I

      Done.

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 112.104.207.203
推 kusoayan    :不是很懂  囧
       哪裡?


※ 編輯: JohnMash        來自: 112.104.207.203      (03/11 23:47)
推 kusoayan    :第一小題證明終於看懂了! 太酷了!!
→ kusoayan    :太感謝你了 這種感覺太神奇了 醍醐灌頂
→ kusoayan    :我再繼續看第二小題好了@@
推 kusoayan    :請問一下e1 e2 e3指的是..?