→ kusoayan :謝謝!! 03/13 20:37
※ 引述《kusoayan (瑋哥)》之銘言：
: 7.
: 設f(x)為一有理係數的五次多項式，且對所有整數n>=5 f(n)均為整數
: 試證明存在整數m n p q r t
: x x x x x
: 使得f(x) = mC +nC +pC +qC + rC + t
: 5 4 3 2 1
令 m=a_m/b_m 且 a_m,b_m為整數且互質
同樣有 n=a_n/b_n, p=a_p/b_p, q=a_q/b_q, r=a_r/b_r
令 f_m(x)=1/(b_m*5!) a_m*x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
f_n(x)=1/(b_n*4!) a_n*x(x-1)(x-2)(x-3)
...
f_r(x)=(1/b_r*1!) a_r*x
則 f(x)=f_m(x)+f_n(x)+...+f_r(x)+t
令 u=b_m*b_n*...*b_r*5!
則 f(u)=f_m(u)+f_n(u)+...+f_r(u)+t 為整數
但 f_m(u),f_n(u),...,f_r(u) 均為整數
故 t 為整數
又 f(u+1)=f_m(u+1)+f_n(u+1)+...+t 為整數
但 f_m(u+1),f_n(u+1),f_p(u+1),f_q(u+1),t 均為整數
故 f_r(u+1)=(u+1)*a_r/b_r 為整數
又 u+1 和 b_r 互質 故 b_r=1 即 r 為整數
以下證明 完全類似
同理 再考慮 f(2u+2)
則 f_q(2u+2)=(2u+2)(2u+1)a_q/(2*b_q)=(u+1)(2u+1)a_q/b_q 為整數
又 (u+1)(2u+1) 和 b_q 互質 故 b_q=1 即 q 為整數
同理 再考慮 f(3u+3)
則 f_p(3u+3)=(3u+3)(3u+2)(3u+1)a_p/(6*b_p)
=(u+1)(3u/2+1)(3u+1)a_p/b_p 為整數
又 (u+1)(3u/2+1)(3u+1) 和 b_p 互質 故 b_p=1 即 p 為整數
同理 再考慮 f(4u+4)
則
f_n(4u+4)=(4u+4)(4u+3)(4u+2)(4u+1)a_n/(24*b_n)
=(u+1)(4u/3+1)(2u+1)(4u+1)a_n/b_n 為整數
又 (u+1)(4u/3+1)(2u+1)(4u+1) 和 b_n 互質 故 b_n=1 即 n 為整數
同理 再考慮 f(5u+5)
則 f_m(5u+5)=(5u+5)(5u+4)(5u+3)(5u+2)(5u+1)a_m/(120*b_m)
=(u+1)(5u/4+1)(5u/3+1)(5u/2+1)(5u+1)a_m/b_m 為整數
又 (u+1)(5u/4+1)(5u/3+1)(5u/2+1)(5u+1) 和 b_m 互質 故 b_m=1 即 m 為整數
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