Re: [證明] 幾題證明、排組請教大家

[suhorng ( )]

※ 引述《kusoayan (瑋哥)》之銘言：
: 7.
: 設f(x)為一有理係數的五次多項式，且對所有整數n>=5 f(n)均為整數
: 試證明存在整數m n p q r t
:              x    x   x   x    x
: 使得f(x) = mC  +nC +pC +qC + rC + t
:              5    4   3   2    1

提供另一種比較暴力 但是比較好想的算法
                                                               5     x
首先由除法原理知, 存在 a_5,a_4,a_3,a_2,a_1,a_0∈Q 使得 f(x) = Σ a_k( )
                                                              k=0    k

所以想試著直接解方程組 :

              5     5
n_5 = f(5) = Σ a_k( )
             k=0    k

              5     6
n_6 = f(6) = Σ a_k( )
             k=0    k

              5     7
n_7 = f(7) = Σ a_k( )
             k=0    k

              5     8
n_8 = f(8) = Σ a_k( )
             k=0    k

              5     9
n_9 = f(9) = Σ a_k( )
             k=0    k

              5     10
n_10= f(10)= Σ a_k(  )
             k=0     k

         n+1      n      n
注意到, (   ) = (   ) + ( )
         m+1     m+1     m

所以我們把第 i + 1 式減掉第 i 式之後, 可以得到

                                 4         i
n_{i+1} - n_i = f(i+1) - f(i) = Σ a_{k+1}( )
                                k=0        k
                                              5     k+1 5
所以不斷減下去, 最後就可以解出 a_5 是整數 (= Σ(－1)   ( )f(k＋5) )
                                             k=0        k

帶回去也可以慢慢解出 a_4, a_3, ..., a_0 都是整數

事實上, 這跟函數的差分有關 (上面在做的也只是把 f 差分後帶值...)

http://en.wikipedia.org/wiki/Difference_operator

而 n 次複係數多項式 f(x) 為整值多項式的充要條件是存在整數

a_n, a_{n-1}, ..., a_2, a_1, a_0 使得

        n     x
f(x) = Σ a_k( )
       k=0    k

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◆ From: 59.115.144.71
→ kusoayan    :可是這是高中的題目耶 囧