Re: [分析] lim sup 不等式

[sato186 (銀色轟炸機)]

※ 引述《hotplushot (熱加熱)》之銘言：
: 我們知道
: lim sup (a_n+b_n)≦lim sup (a_n)+lim sup (b_n)
: 那麼這樣推導對嗎
: lim sup (a_n-b_n)=lim sup (a_n+(-1)b_n)
: ≦lim sup (a_n)+lim sup (-1)(b_n)
: =lim sup (a_n)+(-1)lim sup (b_n)
: =lim sup (a_n)-lim sup (b_n)

 Counter-example 

              n               n+1
Let a  ＝ (-1)  and b  ＝ (-1)    for all n.
     n               n
                                     n
Then limsup (a – b ) ＝ limsup 2(-1)  ＝ 2, and thus
      n→∞   n    n      n→∞

(limsup a )–(limsup b ) ＝ 1–1 ＝ 0,
  n→∞  n     n→∞  n


 Correct Viewpoint 

limsup (a – b ) ＝ limsup (a ＋ (-1) b )
 n→∞   n    n      n→∞   n         n

≦ limsup a  ＋ limsup (-1)b
    n→∞  n     n→∞      n

＝ limsup a  ＋ (-1)liminf b  ＝ limsup a  – liminf b .
    n→∞  n         n→∞  n     n→∞  n     n→∞  n

--
　　　　　　　　　 翩若驚鴻　婉若游龍　榮曜秋菊　華茂春松
　　　　　　　　　 髣彿兮若輕雲之蔽月　飄颻兮若流風之迴雪
　　　　　　　遠而望之 皎若太陽升朝霞　迫而察之 灼若芙蕖出淥波
　　　　　　　襛纖得衷　脩短合度　肩若削成　腰如約素　延頸秀項
　　　　　　　皓質呈露　芳澤無加　鉛華弗御　雲髻峨峨　脩眉聯娟
　　　　　　　丹脣外朗　皓齒內鮮　明眸善睞　靨輔承權　瑰姿豔逸　　　　　　　　　　　　　　　儀靜體閑　柔情綽態　媚於語言　奇服曠世　骨像應圖

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
※ 編輯: sato186         來自: 111.242.3.4          (03/12 23:50)
推 hotplushot  :大大 所以說limsup(k(a_n))不一定等於klimsup(a_n)?
推 hotplushot  :想問一下 我的推導在哪步出錯了
推 hotplushot  :是不是那個常數k 要是正數 等式才會成立
→ sato186     :對 正的才對 你可以先證 sup(-E) = -infE.
推 hotplushot  :感謝糾正!!!