推 kusoayan :那如果我取一個n邊形 然後拿兩個鄰邊出來討論 03/12 18:07
→ kusoayan :也就是會形成一個三角形 03/12 18:07
→ kusoayan :然後討論這個三角形當兩個鄰邊等長的時候面積才會最 03/12 18:08
→ kusoayan :大 這樣也是OK的嘛? 會不會不嚴謹@@? 03/12 18:08
→ Sfly :不是正n邊形也可以邊長相等 03/12 19:04
→ Sfly :但是證明等邊長是第一步沒錯 03/12 19:06
由於Sfly的指正
我們把後續的問題進一步處理
前面我們已經證明 n邊形必須是等邊形才可能是最大
現在 我們要證明等角(n≧5, n=3,4很容易)
不妨假設 n邊形 ABCDE...H 的邊長均為1
固定A,D,E...H 但是 B,C 可動, 考慮四邊形ABCD的面積
AB=BC=CD=1, 令AD=b為定值(b≧1,否則是凹多邊形)
令∠ABC=β, ∠CDA=δ
則四邊形ABCD面積K為
(1/2)sinβ+(1/2)b sinδ=K.............(1)
限制條件由CA的長度給出
[2 sin(β/2)]^2=(b-cosδ)^2+sin^2 δ
即
2(1-cosβ)=b^2-2b cosδ+1.............(2)
(1),(2) 可整理成
sinβ+b sinδ=2K...................(3)
-cosβ+b cosδ=(b^2-1)/2............(4)
(3式)^2+(4式)^2 得
1-2b cos(β+δ)+b^2=4K^2+(b^2-1)^2/4
故 K 的極大值 發生在 cos(β+δ)=-1
β+δ=π
證畢
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※ 編輯: JohnMash 來自: 112.104.170.38 (03/13 19:21)
推 kusoayan :謝謝 受教了!! 03/13 20:40