※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
: ※ 引述《kusoayan (瑋哥)》之銘言：
: : 2.
: : 設A為3x3的方陣。
: : 對任何三維向量u、v 均有 |Au x Av| = |u x v| (兩個向量外積的絕對值)
: : (1) 設u、v、w為三維向量，互相垂直且長度為 1，
: : 證明 Au x Av 和 Au x Aw也是互相垂直且長度為 1
: : (2) 證明 |Au| = |u| 對所有三維向量u 均成立
: let A =[x y z] where x, y, z are column matrices
: let u=[1 0 0]^t, v=[0 1 0]^t, w=[0 0 1]^t
: then
: |x×y|=|y×z|=|z×x|=1
: let u=[1 0 1]^t, v=[0 1 0]^t
: then |(x+z)×y|=√2
: |x×y+z×y|=√2
: by Pythagorean Theorem
: (x×y) and (y×z) are othogonal
如果我只假設 u=[1 0 0]^t, v=[0 1 0]^t, w=[0 0 1]^t
然後直接用題目給定的性質
|Au x Av| = |u x v| = 1 ..................................(1)
|Au x Aw| = |u x w| = 1 ..................................(2)
|A(w+u) x Av| = |(u+w) x v| = |uxv + wxv| = =√2 .........(3)
然後由(1)(2)(3)和畢氏定理
一樣可以得到第一小題的結果嗎 ?
那假設x y z 是為了第二小題嗎 ?
: Similarly, (x×y)=e3, (y×z)=e1, (z×x)=e2 are all othonormal
: [(y×z)^t] [x y z]=[x.(y×z) 0 0]
: [(z×x)^t] [0 y.(z×x) 0]=x.(y×z) I
: [(x×y)^t] [0 0 z.(x×y)]
x.(yxz) = y.(z×x) = z.(xxy) ?
: hence x=(x.e1) e1
: y=(y.e2) e2
: z=(z.e3) e3
: then x=±e1, y=±e2, z=±e3
: then A.A^t=I
: Done.
最後一步這裡我看不太懂 可以麻煩前輩再解釋一點嗎@@?
謝謝!!
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