Re: [代數] direct factor

[hotplushot (熱加熱)]

※ 引述《xcycl (XOO)》之銘言：
: ※ 引述《hotplushot (熱加熱)》之銘言：
: : Def:
: : A normal subgroup H of a group G is said to be a direct factor
: : if there exists a (normal)subgroup K of G such that G=H×K
: : problem:
: : (a)If H is a direct factor of K and K is a direct factor of G,
: :    then H is normal in G.
: K = H x K'
: G = K x G'
: Therefore, G = (H x K') x G' which is isomorphic to
: G = H x (K' x G'), so H is a direct factor of G and normal in G.

幾個小問題想請教

1.(H x K') x G'= H x (K' x G')的原因是??

  後來想想 這好像很直觀 是因為群本身就有結合律吧......

  經xcycl大大指正  是根據universal property

  不是結合律的關係

2.從H x (K' x G')則推到 H normal in G 我不太能理解

  因為G = H x (K' x G')只說明 G 可以是 H與(K' x G')的direct product

: : (b)If H is a direct factor of G,then every homomorphism H → G may be
: :    extended to an endomorphism G → G.
: Hint: H → G is equivalent to say H → H x K.
: :    However,a monomorphism H → G need not be extendible to an automorphism
: :    G → G.

根據大大提示  我證明看看

http://tinyurl.com/4drgp7g


: : 以上為Hungerford代數的習題
: : 懇請板上高手協助  感謝!!!!

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.252.196.205
※ 編輯: hotplushot      來自: 111.252.196.205      (03/16 20:45)
※ 編輯: hotplushot      來自: 111.252.196.205      (03/16 20:47)
※ 編輯: hotplushot      來自: 111.252.196.205      (03/16 21:42)
※ 編輯: hotplushot      來自: 111.252.196.205      (03/16 22:42)
推 recorriendo :2. direct product兩個factor都會normal 這是direct
→ recorriendo :product的重要性直
internal direct product才可以這樣說吧....
※ 編輯: hotplushot      來自: 111.252.210.30       (03/17 18:47)
→ xcycl       :一般都會講 up to isomorphism 來避免區分這類問題
→ xcycl       :internal/external 分別意義不大
→ xcycl       :但談 subgroup 就滿微妙的, 是要定義作子集才算
→ xcycl       :還是同構的都算，前者好理解，後者則是方便
→ xcycl       :up to isomorphism 下, 可以說 N is normal in NxH