→ jacky7987 :喔喔感謝幫忙 03/16 23:48
※ 引述《jacky7987 (憶)》之銘言：
: 1+sqrt(-19)
: a=------------
: 2
: R=Z[a]
: 1.The only units in R in +1,-1
: 這題是硬幹嗎?
想不出顯而易見的方法
如果p+qa是unit(p,q整數)
1/(p+qa)=(p+q-qa)/(p^2+pq+5q^2),這裡用到a^2=a-5
如果右式在Z[a]裡的話
p^2+pq+5q^2|q
q=0 or|q|>=1,|q|>=p^2+pq+5q^2=(p+q/2)^2+19q^2/4>=19q^2/4
後者明顯不可能，故q=0,接下來不難得出p=1or-1(由於1/p是整數)
: 2.Prove that there is no surjective homomorphism R-->Z/2Z or R-->Z/3Z
假設f是homomorphism
Z/2Z
f(a)=0 or f(a)=1
if f(a)=0,0=0*0= f(a)*f(a)=f(a^2)=f(a-5)=f(a)-5f(1)=f(a)-5=0-5=1 in Z/2Z
contradiction
f(a)=1,1=1*1=f(a)*f(a)=...f(a)-5=1-5=0 in Z/2Z contradiction
Z/3Z
f(a)=0,1,2 0,1用跟前題一樣的方法,
f(a)=2,1=2*2=...f(a)-5=2-5=0,contradiction
: 我原本猜測是反證法不過卻寫不出來XD
: 先謝謝大家幫忙
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