→ hbkhhhdx2006:謝謝 講得很清楚 03/17 22:29
※ 引述《hbkhhhdx2006 (大T)》之銘言：
: Show that the series Σ(-1)^(n-1)Bn, where Bn=1/n for n is odd and Bn=1/(n^2)
: for n is even, is divergent. Why does the Alternating Series Test not apply ?
: 正常來說 Σ(-1)^(n-1)/n^p 在p>1時收斂p<=1時發散
: 所以我覺得應該都是收斂才對吧
: 但題目是說發散不知從何下手
: 解答說不能用 Alternating Series Test 是因為Bn不是遞減函數
: 看到這我又更亂了
我覺得可以這樣想:
Σ(-1)^(n-1)Bn = Σ(-1)^(2k+1-1)(1/(2k+1)) + Σ(-1)^(2k-1)(1/k^2)
= Σ(1/(2k+1)) (-1的偶數次) - Σ(1/k^2) (-1的奇數次)
Σ(1/2k) 發散(By comparison test,應該沒記錯)
Σ(1/k^2) 為 p>1的級數 => 收斂
所以整個發散
Bn不是遞減函數:
n = 2k
Bn > B(n+1)?
2
1/4k^2 - 1/2k+1 = 2k+1-4k/4k^2(2k+1)
分子的判別式 < 0 => 恆負(對於k >= 0)
所以不是遞減函數
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