Re: [微積] Lagrange multiplier 的原理

[arrenwu (迎接幸福的未來)]

※ 引述《kuromu (kuromu)》之銘言：
: 若 g(x,y,z,v) = 0
:    h(x,y,z.v) = 0
: 求 f(x,y,z,v) 的極值
: 可從   ▽f = λg + μh  找到
: 書上好像會從代數證明或解釋幾何意義
: 但是 也可看成是一個新函數
: F(x,y,z,v,λ,μ) = f(x,y,z,v) + λg(x,y,z,v) + μh(x,y,z,v)
: 在沒有限制式的條件下找極值
: 請問這樣的新函數
: 能找出舊函數在有限制式的情況下的極值
: 是巧合或者有什麼原因
: 或者直觀上這個新函數有沒有特殊意義
: 感謝

這邊我提供你一個想法。因為只是想法，所以沒有嚴謹的證明。

看一個比較簡單的問題：
在滿足 g(x,y) =0 的情況下，求 f(x,y) 的極值。

滿足 g(x,y) 的所有點顯然是一個維度的，所以寫成 ( x(t),y(t) )，
其中 t 是描述滿足 g(x,y)=0 的點的參數。

所以這時候的 f(x,y) 就變成了 f(x(t),y(t)) ，一個一維的函數。
而集值的產生，是在 df/dt 上，所以得到使得 f 產生極值的 t, 假定是 t0, 要滿足
    fx*x'(t0) + fy*y'(t0) = 0 ......(1)
而我們從 g(x(t),y(t)) = 0 可以得到
    gx*x'(t0) + gy*y'(t0) = 0 ......(2)

由 (1),(2) 可以看出 fx fy gx gy 在極值發生時的比例關係，

gx(x(t0),y(t0)) = λfx(x(t0),y(t0))
gy(x(t0),y(t0)) = λfy(x(t0),y(t0))
加上本來就有的 g(x(t0),y(t0)) = 0 就變成你看到的 Langrange Multiplier

多維變數跟多邊界的情況也是類似。用矩陣的型態寫會更容易看出關聯。

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◆ From: 220.135.249.109
→ kuromu      :謝謝你的回答 但是我是想問說為什麼會想到要考慮
→ kuromu      :造出 F(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)這個函數
推 G41271      :人家厲害呀 數學就是天外飛來一筆才會漂亮
推 math1209    :kuromu:你的問題只是在於你得看懂 Lagrange 乘子法
→ math1209    :的幾何證明.
→ math1209    :基本上, 比較接近線性代數的應用~