關於pole expansion的推導
f(z)，假設 0 < |a_1| < |a_2| < ... < |a_n| 為poles，然後b_n是residue
那麼f(z)可以展成
∞ ┌ 1 1 ┐
f(z) = f(0) + Σ (b_n)│ ──── + ─── │
n=1 └ z-(a_n) a_n ┘
證明老師寫:
I_n = (1/2πi)∫{f(w)/[w(w-z)]}dw
= (1/2πi)∫[f(w)/z]{[1/(w-z)]-(1/w)}dw
n
= [-f(0)/z] + [f(z)/z] + Σ {(b_m)/[(a_m)(a_m-z)]}
m=1
我想問第三項怎麼來的?
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product expansion
一個對全部z都解析的函數f(z)可寫成 f(z) = (z-a_n)g(z)
然後老師證明寫:
f'(z)/f(z) = [1/(z-a_n)] + [g'(z)/g(z)]
∞
= [f'(0)/f(0)] + Σ {[1/(z-a_n)]+(1/a_n)}
n=1
我不太懂第二個等號怎麼推過去的，應該跟pole expansion有關吧!?
先感謝回答囉!
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Maxwell's equations in the matter: ┌───┐ ┌───┐
┌──────┐┌──────┐┌────┘ → │┌──────┘ → │
│ → ││ → ││ → δＢ ││ → → δＤ │
│ ▽‧Ｄ = ρ││ ▽‧Ｂ = 0 ││▽╳Ｅ = －── ││ ▽╳Ｈ = Ｊ + ── │
│ f││ ││ δt ││ f δt │
└──────┘└──────┘└────────┘└──────────┘
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◆ From: 140.112.211.87