推 kevin3529 :十分感謝 03/24 23:40
※ 引述《kevin3529 (大傑)》之銘言：
: 設D 表示xy平面上由曲線y^2=x ,y^2=4x,xy=2與xy=8所圍的區域,求D的面積?
: 後天要上台解題 老師提示要用變數變換 換成u跟v 懇求解答 感恩~~
y^2
令 u = ----- ------(1)
x
v = xy ------(2)
(2)^2 v^2
------- => ----- = x^3 => x = (u^(-1/3))(v^(2/3)) 代入(2)得
(1) u
v = (u^(-1/3))(v^(2/3))(y) => y = (u^(1/3))(v^(1/3))
y^2
1 ≦ ----- ≦ 4 => 1 ≦ u ≦ 4
x
2 ≦ xy ≦ 8 => 2 ≦ v ≦ 8
| δx δx |
|----- -----|
| δu δv |
J = | |
| δy δy |
|----- -----|
| δu δv |
| -1 -4 2 2 -1 -1 |
| (---)(u^(---))(v^(---)) (---)(u^(---))(v^(---)) |
| 3 3 3 3 3 3 |
= | |
| 1 -2 1 1 1 -2 |
| (---)(u^(---))(v^(---)) (---)(u^(---))(v^(---)) |
| 3 3 3 3 3 3 |
-1 2 -1
= (---)(u^(-1)) - (---)(u^(-1)) = (---)(u^(-1))
9 9 3
1
|J| = (---)(u^(-1))
3
4 8 1
所求面積 = ∫ ∫ (---)(u^(-1)) dvdu
1 2 3
4 1 |v=8
= ∫ (---)(u^(-1))(v)| du
1 3 |v=2
4 2 |4
= ∫ --- du = (2)(ln|u|) | = 4ln2
1 u |1
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